哪些数学命题曾经长期被误认为是正确的，但之后被严格证明是错的？

ZS Chen，语言学+中东语言本科, 在哲学系PhD学数学

更新: 我为这篇回答中提到的一些内容写了一篇后续文章, 感兴趣的读者欢迎移步:

ZS Chen：存在非 Borel 的解析集: Suslin 是如何给 Lebesgue 纠错的

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20 世纪初当代分析和测度论刚被发明的时候, Lebesgue 证明过一个很"显然"的命题, 然后被 Suslin 证明了是错的, 并且在纠错的过程中诞生了"描述集合论"这一学科.

Lebesgue 在 1905 年的论文 Sur les fonctions représentables analytiquement 中曾经证明过如下引理:

引理(错误): 平面上的 Borel 集的投影也是 Borel 集.

这个"引理"的"证明"思路很简单: 开集的投影是开集; 平面上的 Borel 集就是由开集为基对可数并集和可数交集所封闭的集合族; 而这些都是被投影所保持的性质. 所以平面上的 Borel 集的投影也是 Borel 集. 这段论证来自于论文的 191-192 页.

Cela est évident si $E$ est un intervalle, car alors $e$ en est un aussi. Or tout ensemble mesurable $B$ se déduit d'intervalles par l'application répétée des opérations I et II', lesquelles se conservent en projection.

我们现在知道 Lebesgue 的错误出在哪里: 投影并不保存递减集合的可数交集. 例如对于任意

$n\in\mathbb{N}^+$

$\mathbb{R}\times(0, \frac{1}{n})$

都投影成

$\mathbb{R}$

. 但是它们的交集是空集, 所以投影也是空集.

这个错误是证明中的错误. 至于这个引理, 直到十多年后才被 Suslin 证明是错的:

定理(Suslin, 1917): 称 Borel 集的投影为解析集, 则存在非 Borel 的解析集.

比较马后炮地来看, 这个结果在现代数理逻辑的视角看来是非常自然的, 因为我们可以通过二阶算术公式的复杂度来定义 Borel 集, 并且能够证明 Borel 集就是那些

$\Delta^1_1$

的集合, 则它们的投影是

$\Sigma^1_1$

的, 而

$\Sigma^1_1\supsetneq \Delta^1_1$

. 这个事实的证明就是一个对角线法的运用和将满足关系编码进一种"universal set"(这是一个术语, 指的不是"所有集合的集合")里, 在研究生级别的集合论教材里都会有.

但是由于当时并没有我们现代的这种视角, 所以 Suslin(以及 Luzin)所做的工作还是非常硬核的. 他们当时发明的工具和术语, 例如 Suslin operation, Suslin representation of sets of reals 都在描述集合论中有着举足轻重的地位. 特别地, 他们证明了解析集有着很良好的"regularity properties": 所有解析集都是 Lebesgue 可测的, 有 Baire property, 并且有 perfect set property.

在之后的时间里, Suslin, Luzin, 以及他们身边的俄罗斯和波兰数学学派则尝试推广这一类结果. 我们记解析集为

$A$

, 解析集的补集为

$CA$

, 解析集补集的投影为

$PCA$

的补集为

$CPCA$

的投影为

$PCPCA$

, 如此类推. 了解集合论的读者就能看出来, 这里其实就是定义了

$\Sigma^1_n$

的 projective hierarchy. Suslin 和 Luzin 证明了这是一个"proper hierarchy", 即每一次这样操作的迭代都会囊括进更多的集合. (用现代集合论的语言:

$\Sigma^1_n\subsetneq \Sigma^1_{n+1}$

). Suslin 等人发现这一类集合都可以被看作是某一类结构上可以被某一类公式所描述的集合, 所以"描述集合论"这一学科也应运而生.

然而

$PCA$

$CPCA$

这一类集合非常复杂, 甚至它们的基本性质都是当时巨大的 open problem. 例如:

$PCA$

集合是否是 Lebesgue 可测的? 这个看似自然且"课后练习"似的问题在接下来几十年都没有被解答.

当然, 我们现在终于知道这是为什么了:

定理(哥德尔, 1938): 在可构造宇宙 $L$ 中, 存在一个不可测的 $PCA$ 集合. 所以 ZFC 无法证明"所有 $PCA$ 集合都是可测的".

定理(Solovay, 1970): 存在一个力迫扩张的 ZFC 模型, 使得其中 projective hierarchy 上的所有集合都是可测的. 所以 ZFC 无法证明"存在不可测的 $PCA$ 集合".

这样的例子层出不穷: 在描述集合论诞生的半个多世纪之后, 当内模型法和力迫法被发展完善了, 我们才有了一个令人惊叹的发现: 当时的波兰 - 俄罗斯学派的工作者留下的 open problem 全都是独立于 ZFC 的(还有不少是有着超出 ZFC 许多的一致性强度). 在这个方向上, ZFC 内能被判定的几乎所有重要问题都被他们所解决了, 这也侧面体现了这一学派数学家的逆天功底.

值得一提的是, Solovay 1970 中最重要的结果并不是这一条定理, 而是更惊人的: 存在力迫扩张满足"ZF+ 所有实数集都是 Lebesgue 可测的". 这解决了"Vitali 集的构造是否必须要用到选择公理"这一问题. 这篇论文发表在了 Annals 上, 也足以体现出它的重要性 (不过话说回来, 好像上世纪的时候内模型法和力迫法刚被发明的时候, 集合论工作还挺经常发 Annals 的). 更多详见:

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