这是一个十分有趣而又非常深刻的数学问题！

我们把棱、面对角线和体对角线都是整数的长方体称为 完全有理长方体.。所以问题变成了：是否存在完全有理长方体？此问题其实等价于下述丢番图方程组

是否有非零整数解。

完全有理长方体是否存在这一问题是一个古老的数学问题，在 Euler 的时代就已知晓，但至今尚未解决，所以这目前这仍然是一个公开问题.。1984 年，Korec 证明了：不存在最短棱小于等于  的完全有理长方体.。2004 年，Butler 将 Korec 的结果改进为：不存在最短棱小于等于  的完全有理长方体。

若长方体的棱、面对角线和体对角线中有一个为无理数，则称这样的长方体为 半完全有理长方体. 那是否存在半完全有理长方体？此时答案是肯定的。我们分下述两种情形：

1、面对角线为无理数

此时问题等价于下述丢番图方程组

是否有非零整数解. 不难验证  为上述方程的一组解。

2、体对角线为无理数

此时问题等价于下述丢番图方程组

是否有非零整数解. 不难验证：

为上述方程组的一组解。 事实上，上述方程组有无穷多组解。 比如，1772 年，数学大师 Euler 得到了上述方程组的一族解：

其中  为整数. 比如取 ，可得：

显然此解与：

得到的是同一个长方体。

2001 年，Narumiya 和 Shiga 又得到了上述方程组的另一族解

其中  为整数。 若取 ，则可得：

事实上，半完全有理长方体问题的求解与 椭圆曲线，Kummer 曲面 和 K3 曲面 等非常现代的数学理论有关！