奥利给不等式就是：
哈哈哈哈，开个玩笑~
其实，这是个谐音，“奥利给不等式”指的是“ALG 不等式”（Arithmetic-Logarithmic-Geometric mean inequalities），中文又称“对数均值不等式”[1]。
定义是：
即对于任意两个非负且互不相等的数
和
，两者的算术平均数（Arithmetic mean）
大于对数平均数（Logarithmic mean）
大于几何平均数（Geometric mean）
。
对应的证明方法有很多，我找到了一个由 Roger B. Nelsen 教授给出的图解证明法[2]，这也是我所见过的最为直观简洁的奥利给不等式证明方法，但是由于其原文中的公式有些错误，所以这里重新写一遍。
思路其实就是对比函数
在区间
所围的面积与一个通过“内切”（左边图）形成的梯形面积与两个通过“外接”（右边图）形成的梯形面积，进而得到不等式关系。
很显然，两种情况下，函数
在区间
所围的面积都为：
对于左边的图，根据积分所得面积与梯形面积的关系有：
(注意这里的梯形可以看做是长为
，高为
的矩形)
对于右边的图，根据积分所得面积与两个梯形面积和的关系有：
(开始吟唱：梯形的面积是上底加下底的和乘高除二!)
综上有：
而对于题主的问题，关于
与
的关系就很好比较了。
由奥利给不等式有：
现在只需要令
则有：
所以当
时，有：
当
时，有：
当
时，有：