动画《魔法少女小圆》有哪些学科讨论？

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想起这道经典数学题

数列

$\left\{ p_{n} \right\}$

按如下方式定义：

$p_{1}=1$ ，

$p_{2}=1$ ，

$p_{n+2}=p_{n+1}+p_{n}$ （ $n\geq1$ ），

这个数列叫做Fibonacci 数列，它的通项公式为：

$p_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n} \right]$

（ $n\in\mathbb{N}^{*}$ ）

根据以上信息回答下列问题：

将一个自然数列

$\left\{ x_{n} \right\}$ （ $n\in\mathbb{N}^{*}$ ）

按如下规则定义：其中每一个数都是由数字

$0$ 或 $1$ 组成，并且满足

(A) $x_{1}=1$ ； (B) $x_{n+1}$ 为自然数，

是将 $x_{n}$ 中的

数字 $0$ 替换成 $1$ ，数字 $1$ 替换成 $10$ 而得到.

例如：

$x_{1}=1$ ,

$x_{2}=10$ ,

$x_{3}=101$ ,

$x_{4}=10110$ ,

$x_{5}＝10110101$ ,…

求解：

(1) $a_{n}$ ，它被定义为 $x_{n}$ 中的数字个数；

(2) $b_{n}$ ，它被定义为 $x_{n}$ 中的“01”的出现次数.

例如：

$b_{1}=0$ ,

$b_{2}=0$ ,

$b_{3}=1$ ,

$b_{4}=1$ ,

$b_{5}=3$

本题据说是某年东京大学入学考试试题，难度略高于一般的高中数学题，大致相当于高考数学压轴题或者自主招生数学试题的难度

解：

(1)

令数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 中的 0 的个数为 $c_{n}$ ，

1 的个数为 $d_{n}$

显然

$a_{n}=c_{n}+d_{n}$

$c_{n+1}=d_{n}$

$d_{n+1}=c_{n}+d_{n}$

$a_{n+1}=c_{n+1}+d_{n+1}=c_{n}+2d_{n}$

$c_{n+2}=d_{n+1}=c_{n}+d_{n}$

$d_{n+2}=c_{n+1}+d_{n+1}=c_{n}+2d_{n}$

$a_{n+2}=c_{n+2}+d_{n+2}=2c_{n}+3d_{n}$

显然有

$c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}$

$d_{n+2}=d_{n+1}+d_{n}$

$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$

（ $n\in\mathbb{N}^{*}$ ）

注意到

$a_{1}=1$ ，

$a_{2}=2$

显然

$a_{n}=p_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+1}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+1} \right]$

（ $n\in\mathbb{N}^{*}$ ）

(2)

由题显然可得，

$b_{n+1}$ 等于 $x_{n}$

中不处于最末一位的 $1$ 的个数

且对于数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ ，

显然其奇数项末位为 $1$ ，

偶数项末位为 $0$

则

$b_{2n}=d_{2n-1}-1$

$b_{2n+1}=d_{2n}$

注意

$d_{n+2}=d_{n+1}+d_{n}$

（ $n\in\mathbb{N}^{*}$ ）

$d_{1}=1$ ，

$d_{2}=1$

则

$d_{n}=p_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n} \right]$

（ $n\in\mathbb{N}^{*}$ ）

$b_{2n}=d_{2n-1}-1=p_{2n-1}-1$

$b_{2n+1}=d_{2n}=p_{2n}$

$b_{2n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{2n-1}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{2n-1} \right]-1$

$b_{2n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{2n}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{2n} \right]$

（ $n\in\mathbb{N}^{*}$ ）

综上

$b_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \right]-\frac{1}{2}\left[ 1+\left( -1 \right)^{n} \right]$

（ $n\in\mathbb{N}^{*}$ ）

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