人们在没有计算机的帮助下是如何计算根号 3？ - 趣闻

人们在没有计算机的帮助下是如何计算根号 3？

人们在没有计算机的帮助下是如何计算根号 3？

知乎精选 2023-10-06 02:00:04

董靖许，以成为一名 Homo intellectus 为己任

看了一圈，居然没有人提到这样一个方法. 那就由我来讲讲吧. （真的是很巧妙的一个方法.）

首先，我们知道

$1 < \sqrt{3} < 2$

，于是我们就有

$0 < \sqrt{3} - 1 < 1. \\$

对上述不等式进行平方，可得

$0 < \left( \sqrt{3} - 1 \right)^2 < 1, \\$

即

$0 < 4 - 2\sqrt{3} < 1, \\$

即

$0 < 2 - \sqrt{3} < \frac{1}{2}, \\$

这表示

$\sqrt{3}$

比

$2$

小，且将

$2$

作为

$\sqrt{3}$

的近似值时，误差不超过

$\frac{1}{2}$

. 当然，这个结论就算不这样折腾一番你也能够轻松得到（毕竟

$1.5^2 < 3$

而

$2^2 > 3$

嘛），但别急，我们还没完.

对上述不等式再平方，有

$0 < \left( 2 - \sqrt{3} \right)^2 < \frac{1}{4}, \\$

即

$0 < 7 - 4 \sqrt{3} < \frac{1}{4}, \\$

即

$0 < \frac{7}{4} - \sqrt{3} < \frac{1}{16}, \\$

这说明

$\frac{7}{4}$

比

$\sqrt{3}$

大，且如果用

$\frac{7}{4}$

作为

$\sqrt{3}$

的近似值，误差小于

$\frac{1}{16}$

.

将不等式

$0 < 7 - 4\sqrt{3} < \frac{1}{4}$

再平方，即有

$0 < 97 - 56 \sqrt{3} < \frac{1}{16}, \\$

即

$0 < \frac{97}{56} - \sqrt{3} < \frac{1}{896}, \\$

这说明

$\sqrt{3} \approx \frac{97}{56}$

，且误差小于

$\frac{1}{896}$

.

到了这里你应该已经能够看出一些端倪了. 如果还想知道

$\sqrt{3}$

的更加精确的近似值，那么可以继续对不等式进行平方. 这里我们再演示一次：对

$0 < 97 - 56\sqrt{3} < \frac{1}{16}$

进行平方，有

$0 < 18817 - 10864\sqrt{3} < \frac{1}{256}, \\$

即

$0 < \frac{18817}{10864} - \sqrt{3} < \frac{1}{256 \times 10864} \left( = \frac{1}{2\ 781\ 184} \right) < \frac{1}{250 \times 10000} = \frac{1}{2\ 500\ 000}, \\$

这说明

$\sqrt{3} \approx \frac{18817}{10864}$

且误差小于 250 万分之一，这已经是

$\sqrt{3}$

的相当好的近似值了. 当然，如果你有兴趣，还可以把这种工作继续进行下去，这样就可以得到更加精确的近似值了.

实际上，上述方法对于求任何正数

$x > 0$

的算术平方根

$\sqrt{x}$

都是适用的. 具体说来，任取正数

$r$

，并设已知其与

$\sqrt{x}$

的差距不超过（正数）

$\varepsilon$

，即

$0 < |r - \sqrt{x}| < \varepsilon. \\$

两端平方，可得

$0 < r^2 - 2r\sqrt{x} + x < \varepsilon^2, \\$

整理可得

$0 < \frac{r^2+x}{2r} - \sqrt{x} < \frac{\varepsilon^2}{2r}. \\$

可以看到，当

$\frac{\varepsilon^2}{2r} < \varepsilon$

（即

$r > \frac{\varepsilon}{2}$

，或

$\varepsilon < 2r$

）时，

$\frac{r^2 + x}{2r} = \frac{r}{2} + \frac{x}{2r}$

是比

$r$

更好的关于

$\sqrt{x}$

的近似值，且误差小于

$\frac{\varepsilon^2}{2r}$

. 此时，将

$\frac{r}{2} + \frac{x}{2r}$

作为

$r$

再次进行上述操作，就可以得到更好的关于

$\sqrt{x}$

的近似值. 可以证明，将这样的操作无限进行下去，所得关于

$\sqrt{x}$

的近似值可以任意精确并无限接近于

$\sqrt{x}$

的准确值.

更细致的描述如下. 设

$r_0$

是任意正数，其与

$\sqrt{x}$

之差的绝对值不超过

$\varepsilon_0$

. 那么，由

$0 < |r_0 - \sqrt{x}| < \varepsilon_0, \\$

可得

$0 < \left( \frac{r_0}{2} + \frac{x}{2r_0} \right) - \sqrt{x} < \frac{\varepsilon_0^2}{2r_0}, \\$

记

$\frac{r_0}{2} + \frac{x}{2r_0} = r_1$

，

$\frac{\varepsilon_0^2}{2r_0} = \varepsilon_1$

，上式就可以写为

$0 < r_1 - \sqrt{x} < \varepsilon_1. \\$

对上述不等式进行同样的操作，以

$r_1$

和

$\varepsilon_1$

代入前面的

$r_0$

和

$\varepsilon_0$

，并将所得到的新的

$r_1$

和

$\varepsilon_1$

记作

$r_2$

和

$\varepsilon_2$

. 再继续对新的不等式操作，可得

$r_3$

和

$\varepsilon_3$

，乃至

$r_n$

和

$\varepsilon_n$

（

$n \in \mathbb{N}$

）. 可以看到，有递推关系

$r_n = \frac{r_{n-1}}{2} + \frac{x}{2r_{n-1}}, \\$

$\varepsilon_n = \frac{\varepsilon_{n-1}^2}{2r_{n-1}}, \\$

它们满足

$0 < r_n - \sqrt{x} < \varepsilon_n. \\$

可以证明，当

$\frac{\varepsilon_0}{2r_0} < 1$

时，所得到的一列数

$r_0, r_1, \cdots, r_n, \cdots \\$

将越来越接近

$\sqrt{x}$

，该数列的极限也正是

$\sqrt{x}$

. 故可使用

$r_n$

作为

$\sqrt{x}$

的近似值.

更广泛地说，这其实可以认为是不动点迭代法，但由于我还不太熟，就不方便进行适用于任意情况的推广了.

有些地方可能有问题，如果有，可以评论指正. 看来我的数学水平还不够，sigh~

过了一晚上再来看，OMG，居然就这么多赞了？！我还真没预料到，哈哈，真是开心☺️

忘了说了，上面的这些方法是我在一本叫做《从根号 2 谈起》的数学科普书上了解到的. 这本书挺不错的，推荐阅读！

【2022 年 7 月 29 日 22 点 53 分】

修正了笔误“

$2^2 < 3$

”（好家伙都过了两个半月了才更正，我真是懒到家了）.

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