旺旺碎冰冰到底哪一半更多呢？

旺旺碎冰冰到底那一半更多呢？

大模头，公众号：数学模型（ID:MATHmodels）

先说结论：实验和计算都表明，圆头那一半更多！

实验

针对这个问题，不少网友早已开展了“实证研究”。有网友专门购买了未冷冻状态下的碎冰冰，用剪刀从正中间剪开，再借助带刻度的针管分别抽取尖头和圆头中的液体进行测量。测量结果显示：尖头部分约含 38 ml 液体，而圆头部分则为 40 ml（图 1），竟然是圆头的一半更多[1]。

旺旺官方也曾亲自下场“破案”。在旺旺旺仔俱乐部发布的视频中[2]，工作人员将碎冰冰尖头部分的液体倒入圆头容器中，不仅没有出现溢出的现象，甚至还能再装进去一些！这一实操演示似乎再次坐实了“圆头更多”的结论。

模型

实验方法虽然简单直观，操作性强，但实验结果容易受到灌装误差、剪开位置偏差等不确定因素的影响。为减少这些影响带来的干扰，本答借助几何建模的方法，计算碎冰冰上下两部分的理论体积。

碎冰冰整体造型较为简单，可以看成是圆柱、半球、圆台和半球缺的组合。大家对圆柱和半球及其体积计算公式并不陌生，这里先简单介绍一下圆台和半球缺。

如图 2 所示，圆台是圆锥被一个平行于底面的平面截去顶端小圆锥后剩下的几何体，其体积可以由上底面半径

$r$

、下底面半径

$R$

和高

$h$

计算得到。

如图 3 所示，半球缺都是半球被平面截断后剩余的半球球体部分，其体积可以由半球体积减去球帽体积得到[3]。

有了圆台和半球缺的体积计算公式，要计算碎冰冰的体积，还需要知道其尺寸参数。但旺旺官方并未公开碎冰冰外观的具体设计参数，官网和相关资料中也查不到准确的尺寸数据，我们只能退而求其次，手动对实物进行测量，获取碎冰冰的尺寸数据，图 4 为测量得到的各部分长度数据（单位：cm）。根据实际经验，冰冻状态下掰开碎冰冰时，最顶部小把手部分的碎冰冰难以挤出，故其体积忽略不计。

接下来，我们把碎冰冰的上下两部分分别看作由基础几何体组合而成，并通过对各部分体积的求和，计算上下两部分的总体积。

如图 5 左所示，尖头部分

$V$

可以分解为圆台

$V_\mathrm{f}$

、圆柱

$V_\mathrm{c}$

、半球缺

$V_\mathrm{s}$

，三部分的体积分别为：

$\begin{aligned} V_\mathrm{f}& = \frac{1}{3}\times \pi\times 3\times (0.3^2+0.3\times 1.1+1.1^2)\\ &= 5.12\,\text{cm}^3\\ \\ V_\mathrm{c}&= \pi\times 1.1^2\times 7.8= 29.65\,\text{cm}^3\\ \\ V_\mathrm{s}&= \frac{2}{3}\times \pi\times 1.1^2 - \frac{1}{3}\times \pi \times (1.1-0.8)^2(2\times 1.1+0.8)\\ &= 2.50\,\text{cm}^3 \end{aligned} \\$

因此，尖头部分的总体积为：

$\begin{aligned} V &= V_\mathrm{f} + V_\mathrm{c} + V_\mathrm{s}\\ &= 5.12 + 29.65 + 2.50 = 37.27\,\text{cm}^3 \end{aligned}\\$

如图 5 右所示，圆头部分

$U$

可以分解为半球缺

$U_\mathrm{s}$

、圆柱

$U_\mathrm{c}$

、半球

$U_\mathrm{h}$

，三部分的体积分别为：

$\begin{aligned} U_\mathrm{s}& = V_\mathrm{s} = 2.50\,\text{cm}^3\\ U_\mathrm{c}&= \pi\times 1.1^3\times 9.0 = 34.21\,\text{cm}^3\\ U_\mathrm{h}&= \frac{2}{3}\times \pi\times 1.1^3 = 2.79\,\text{cm}^3 \end{aligned} \\$

因此，圆头部分的总体积为：

$\begin{aligned} U &= U_\mathrm{s} + U_\mathrm{c} + U_\mathrm{h}\\ &= 2.50 + 34.21 + 2.79 = 39.50\,\text{cm}^3 \end{aligned}\\$

通过对尖头和圆头部分的体积计算，不难发现，圆头部分的体积更大，比尖头部分多了约 2.23 cm

$^3$

，约占尖头体积的 6%。两者的体积差异主要来源于上下圆柱部分，尽管尖头的总长度在视觉上更长，但由于其圆柱部分反而较短，导致其容体积相对较小。此外，我们可以计算得出碎冰冰的总体积为 76.78 cm

$^3$

，与官方公布的总体积 78 ml（1 ml = 1 cm

$^3$

）十分接近，从侧面验证了本模型在结构建模与体积估算方面的可靠性。

结论

本文通过构建几何模型，对经典冷饮产品旺旺碎冰冰的上下两部分体积进行了定量计算。结果显示，圆头部分的体积更大，约比尖头部分多出 6%。这一结论不仅印证了坊间实验的观察结果，也为这场延续多年的“童年争议”提供了科学答案。

参考资料

[1] 真的困扰我很多年！旺旺碎冰冰到底哪一半更多呢？一包忧桑的辣条, 2020: https://www.zhihu.com/question/394015396/answer/1214764235

[2] 设计师你说话呀！碎冰冰到底哪头多！旺旺旺仔俱乐部, 2024: https://space.bilibili.com/332632721

[3] wikipedia. Spherical cap, 2019.: https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_cap

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