有没有符合 f'(x)=f(x+1) 的函数？

知乎精选 2024-03-24 01:00:05

易夕，干惊天动地事，做隐姓埋名人

题目要求导数是原函数的平移，且平移量为 1。三角函数

$\sin(x) \ \cos(x)$

就具有这类性质，但平移量为

$\frac{\pi}{2}$

。指数函数

$e^x$

也具有类似的性质，但平移量为 0。

考虑设计一个指数函数与三角函数相乘的函数，比如

$f\left( x \right)=e^{ax} \sin\left( b x\right)$

其导数为

$f'\left( x \right)=ae^{ax}\sin\left( bx \right)+be^{ax}\cos\left( bx \right)$

原函数平移 1 个单位

$\begin{aligned} f( x+1) &= e^{ax+a} \sin(b x+b) \\ &= e^{ax+a}(\sin (bx)\cos(b)+\cos(bx)\sin(b)) \\ &= e^a\cos(b)e^{ax}\sin(bx)+e^a\sin(b)e^{ax}\cos(bx) \\ \end{aligned}$

两式对比可以得到

$\left\{ \begin{array}{lr} a = e^a\cos(b) \\ b = e^a\sin(b) \\ \end{array} \right.$

问题来了，怎么解这个方程组呢？

第二个式子乘以虚数单位 i，然后两式相加，可以得到

$\begin{aligned} a + bi &= e^a(\cos(b) + i\sin(b)) \\ & = e^a\cdot e^{ib} \\ &= e^{a+bi} \end{aligned}$

记

$z = a+bi$

，也就是解方程

$z = e^z$

这个方程在复数域内的解与朗伯 W 函数(Lambert W Function) 有关，其解有无数多个，可以表示为

$-lambertw (k,-1), k\in Z$

(k 为任意整数)

用 MATLAB 计算的得到的数值解。比如，取 k=0, 此时 a = 0.318131505204764,b = 1.337235701430689.

z = -lambertw(0,-1)
% z = 0.318131505204764 - 1.337235701430689i

画出原函数及其导数的图像

a = real(z);
b = imag(z);
f = @(x) exp(a*x).*sin(b*x);
df = @(x) a*exp(a*x).*sin(b*x) + b*exp(a*x).*cos(b*x);
fplot(f)
hold on
fplot(df)
grid on
legend('f','df')

当 k 取其它整数时，也可以得到满足条件的其它函数，比如 k = 1 时，a = 2.062277729598284 ,b = - 7.588631178472513,此时函数图像如下所示

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