难得有精准到我研究专业的问题，非常开心能跟大家分享我研究的内容！
首先，分数不是单纯的分披萨或者蛋糕那么简单。
在我们研究孩子对数学，尤其是分数，的理解课题时，发现孩子学习分数时有两个很大的难点：
一个叫整数偏见，即用整数的思维去解决跟分数（或者有理数）相关的问题；
另一个就是分数的抽象性质，即它无法准确用实物表现出来。就算你能分 1/2 块蛋糕，孩子也很难将半块蛋糕的概念，转移到一个苹果和两个橙子（1：2）的概念。
这两个难点导致，概念不理解、题目做不对；老师为了提高成绩，增加练习题量，却没关注到孩子的难点在哪里；家长着急，把焦虑的情绪传递给孩子；孩子既觉得困难又害怕老师和家长，负面情绪占据大脑，无法理性思考，恶性循环下去。
所以才有我们常听说的：三年级是小学的分水岭。其中一个原因，就是有理数学习内容的增加，让孩子一下子“架不住”了。之前学习基础薄弱的同学便被留在了分水岭的另外一侧。
我们的同行也做了很多干预，帮助分数学习有困难的孩子提高分数理解和成绩，其中当然有非常有成效的，也有些长期效果并不明朗。我在这里从我实际的研究数据出发，结合我少量的教学经验，给大家提出三个帮助孩子理解有理数的方法。我也发布了很多关于小学数学的视频，感兴趣的朋友可以翻翻我的主页。
第一：从情绪出发。
大部分事情，我会先从情绪出发，把底层地基铺好，再搞上层建筑。这里的情绪包括两层：
第一层是家长和老师不要传递焦虑的情绪给孩子，不要让孩子觉得“我就是数学不好”，而是要传递”只要多练习，就会有进步“的观念，让孩子觉得数学是可以提高的，我只需要多练习（发展性思维）。
这部分的意思是，任何一个孩子，只要他多练习，一定会比昨天的自己更进步！至于能不能超过班级第一名，那不是我们应该要考虑的事情，凡事只跟自己比，只要比昨天更进步，就是我们的目标。摆脱“我数学不好”的标签，是解决孩子数学成绩差的第一步，也是重要的一步。
情绪的第二层，是不要在双方愤怒的时候讲题。网络上有很多父母陪孩子写作业写到崩溃的视频，我们看了以后哈哈大笑，但其实对孩子的学习没有一点帮助。因为在父母和孩子当下情绪对立紧张的时候，孩子大脑负责理智思考、吸收知识的前额叶皮层是关闭的，相反，孩子紧张、害怕、担忧、羞愧的心情，让杏仁核活跃，根本没法理解知识。
所以产生了“我在说，孩子根本没在听”的情况，因为孩子已经失去了认真听的能力。
当父母理解了并解决了这两层情绪上的难点，我们再来进行下面三个方法。
第二，梳理并熟练掌握整数和有理数的特点。
有理数的一大难点就是它们跟整数的数字性质差异。有理数跟整数的数字属性并不是完全的对立，而是某些情况下一致，某些情况下不一致。
我这里有一份简单的表格，把整数和有理数的数字属性做了概括(Rosernberg-Lee, 2021)。各位家长可以在闲暇时候整理打印，贴在孩子的书桌上，写作业时对照。也可以在这个简单的表格基础之上，添加跟自己学习内容相关的知识点。
翻译一下，加上例子：
根据这个表，父母和老师可以制作出无限种排列组合，让孩子区分两个数字系统的属性。这就要求家长和老师先观察，确定孩子的难点，对症下药。这也就来到第三个方法，多做练习。
第三，除了搞清楚概念外，多做有针对性的练习。
在世界各地的数学成绩中，美国一直是相对较低的，被亚洲各国压了几十年。每次 PISA（Programme for International Student Assessment）也是亚洲学生名列前茅。究其原因当然有很多，但我认为其中一个很重要的原因就是，美国学生的做题数量远远不够。
可能有人会说，数学重在理解。
这我非常认同，但这不等于不做题。在数学认知研究中，概念理解和步骤理解同等重要。前者为你是否理解数学概念，后者为你是否会做题。我认为就算你理解了概念，也必须保持一定量的题目练习。因为只有从大量、复杂的题目中，你才能不断检验自己的理解。
更更重要的是，你可以在大量的题目中，检索出不同的解题方法，找到最有效的那个，而这个过程，最能够提升孩子的数学能力，也最能让孩子爱上数学。
但在这里一定要说明的是，大量做题不是搞“题海战术”，其实我认为很多国内学校的题目量完全是够的，但问题就在于缺乏针对性。但这点我认为老师很难做到，因为要照顾的学生实在太多，所以就需要家长多留意孩子学习的难点，根据每个孩子不同的难点去做题，通过重复，量变才能产生质变。
如果孩子的练习已经足够多了，不妨暂时忽略孩子答案的正确率，转而要求他用至少两种方法解一道题，发散思维，寻找数学的乐趣。
最后再附两个具体的小方法。
- 分数专项：用不同的表现形式学分数。
目前我们课本主要的分数学习在”分蛋糕“，即画一个圆，然后平均分几份。也有”模型面积“，比如长方形、正方形等，分成等面积的小图形。
既然我们知道概念”抽象“，那就尽可能用”具象“的方式为他们展现。
除了上面说的，还有种非常好的方法，画数字线。
数字线可以帮助孩子在脑海中建立数字深度概念，也能帮他们把分数和整数很好的结合在一起：即在同一条线上体现出来。数字线练习在分数干预的科研项目中都有涉及，效果不错。
平日我们可以随意随时取一张纸，画一条线，让孩子在其中标出某些分数，或者探索如何移动，让数值变大或小等，其中最近的整数是哪个等等。
- 慢慢来，整数知识学稳妥了吗？
这点更倾向于“预防”。在学有理数之前，孩子脑海里的数字系统就只是整数系统。当学了有理数后，他脑海中的数字系统不是单纯的加入新知识，而是要把新知识加入已有的知识体系中，打破原来的数字体系，重新整合一个包含整数和有理数的数字体系（参加两个数字属性的不同和相同）。
这是一个非常抽象而且困难的过程，需要一些时间，更需要一些耐心，但首先需要孩子的整数知识是牢固扎实的，这就是为什么我会建议很多家长在小学一二年级别着急拔高，把基础知识打牢固了即可。当孩子的整数基础牢固了，当他接触新知识时，会比较容易重整数字体系。但如果本来整数的知识就有欠缺，加入新知识，整合过程就会复杂和麻烦很多。
如果孩子在学习有理数过程中有困难，先看看这个困难是不是在整数中也存在，把整数学好了，才更容易掌握有理数。
最后必须要注意的一点是，不要拔苗助长。如果 7 岁的孩子认为分数很难理解，这是非常正常的现象。根据儿童心理学鼻祖皮亚杰的认知发展理论，孩子要从 7 岁开始才发展出理解抽象概念的能力，如果你硬要求 7 岁 8 岁的孩子，轻易理解分数的抽象概念，那只能是让自己和孩子都难受。这也是为什么有理数的认识和学习会在三四年级出现。