这个问题本来有个非常正规的答案，就是说因为我们要得到方差的无偏估计，所以经过一通计算，可以算出来无偏估计的分母是 n - 1。
不过可能很多人和初学的我一样还是有疑惑：到底是因为什么原因，导致方差的无偏估计分母是 n - 1，而不是 n - 2, n - 3？产生这一奇怪数字背后的根本原因是什么？这背后有什么隐含的数学直觉？所以我觉得我应该来抛开计算，从直观的角度讲一下这个 n - 1 的分母是怎么来的。
在讲这个问题之前，先明确问题背景中的几个定义：
在抽样的时候，我们把每次抽样出来的样本叫
，
是从一个未知的分布采样出来的。这个未知的分布有一个均值
和一个方差
，要注意，因为分布是未知的，所以 和
都是未知的。所以，我们的任务，是抽样出一系列的样本
，来估计
和
的值。
估计均值
非常简单，就是计算样本的均值：
，这个应该没有什么异议。
问题出在对
的估计上。对
的无偏估计是
分母是 n - 1。而不是最符合直觉的
。
为什么方差的估计会这么反直觉？而实际上，方差的估计是符合直觉的，只是需要你稍微了解一下“自由度”这个东西。下面的内容会带你认识这一点。
要想理解这背后的数学直觉，不妨先考虑这样一个问题：
如果你只采样了一个样本 ，那么如何估计方差是正确的？我们先试着用 n 做分母来算一下：
因为只有一个样本，所以
，因此分子是 0，分母是 1，得到的结果是 0.
但是，0 这个估计，合理吗？显然不合理。我们目前只采样了一个样本，只有一个样本的时候我们连两个数字的差都没有，怎么可能估计出方差呢？这时，我们更合理的选择是说“我无法只从这一个样本来猜测方差”，而不是“我猜测这个方差是 0”。而对这个问题，不太符合直觉的无偏估计
会得到
无法计算的结果，这个结果显然更符合我们的想法。
那么，为什么用最符合直觉的分母是 n 的计算方法，得到的结果是不符合直觉的 0 呢？我们再来倒推一下计算过程：
为什么结果是 0？因为分子是 0；
为什么分子是 0？因为
；
为什么它俩相等？因为
就是从
得到的，它俩其实就是同一个东西。
所以这代表什么呢？这代表，当我们有只一个样本的时候，分子虽然看上去有一项
，但实际上信息量是 0. 因此，我们不能从中得到任何结果。
相信现在你已经有一点模模糊糊的想法了。我们再类推到有两个样本的时候，加强这个想法。
当我们有两个样本的时候，分子有两项：
和
. 这其中的信息量是多少呢？首先，我们是以
作为基准，来计算每个样本的偏离程度的。要算第一个样本的偏离程度，毋庸置疑只能老老实实算
；但是，第二个样本呢？计算
吗？不，还有一个办法：因为
，
和
其实是对于
对称的。所以其实
！
发现没有？这次分子上看上去有两项，而实际上却只有一个的信息量！我们对这种现象可以有一个表述：就是 是不自由的，因为从之前的式子可以推出它。当然，对称地，我们也可以说
是不自由的。总之，这两个式子当中，只有一个是自由的，所以我们称这两个式子的自由度为 1.
类似地，当我们有三个样本的时候，我们可以从
中推出
，自由度为 2；
以此类推，当我们有 n 个样本的时候，我们可以从
中推出
，其自由度为 n - 1.
也就是说，当我们有 n 个样本的时候，我们虽然看起来在分子上做了 n 个减法，但实际上我们只算出了 n - 1 个偏差量。因此，做平均的时候，要除以的分母就是 n - 1，而不是第一眼认为的 n.
但是，为什么 n 个减法做完，自由度只有 n - 1？是谁从中搞鬼，偷走了一个自由度？
答案很简单，是
.
注意这个问题的背景，隐含的分布均值是 ，而
是未知的。
只是对
的估计。
由于
是未知的，所以在估计方差之前，我们会需要先找一个
的代替，也就是
. 也就是说，在用 代替
的过程中，我们损失了一个自由度。
那么，如果问题的背景变了，我们知道隐含的分布均值
，只是不知道
，那我们该如何估计
？是
，还是
？
相信聪明的你一定能得到答案。这次的答案，变成了符合直觉的
，分母是 n，而不是那个怪异的 n - 1. 这个计算过程留作作业，用来巩固你的知识。
所以总结一下：方差估计的分母是 n - 1 而不是 n，原因是我们在计算过程使用了
来代替均值
（因为
是未知的），从而导致分子中的 n 项
实际上只计算了 n - 1 个偏差值（也就是自由度为 n - 1）。因此，最合理的做法当然就是除以 n - 1 来得到平均的偏差值，来作为方差的估计。