虚数 i 是真实存在的吗？还是被人们创造出的数学工具？

知乎精选 2024-01-12 01:00:07

魏天闻

实际上历史上许多数学家都对虚数这个概念感到不自在，毕竟“平方等于 -1”这样的数无论如何都有悖于直观；高斯一度都不愿轻易在论文中使用复数方法，因为他知道当时的数学界并没有完全接受这个新事物。

当年高斯很早就接受了复数，对他来说复数和实数同样直观。原因很简单：人们完全可以避免使用"i 的平方等于 -1"这样的说法。我们可以这样定义复数：

定义集合 C，C 中的元素形如实数对（x, y）。我们可以在 C 中定义四则运算：

设

$a=(x_1, y_1),\quad b=(x_2, y_2)$

皆为 C 中元素。则：

$a+b = (x_1+x_2,\quad y_1+y_2)$

$a-b = (x_1-x_2, \quad y_1-y_2)$

$a\times b = (x_1x_2-y_1y_2, \quad x_1y_2 + x_2y_1)$

$a / b = \Big(\frac{x_1x_2 + y_1y_2}{x_2^2 + y_2^2}, \quad\frac{x_2y_1- x_1y_2}{x_2^2 + y_2^2}\Big),\quad x_2y_2\neq 0$

很容易看出来，这个集合 C 就是复数域（当然如果你不习惯的话也可以就叫它“集合 C”）；实数域 R 是 C 的一个子集，如 5 这个数在 C 中的表示就是(5, 0)；并且，容易验证 C 中的运算对于 R 是相容的，即对于两个实数 a 和 b，a*b 在 R 中运算的结果和在 C 中运算的结果是一定是相同的。

我们可以把所有实分析中的概念全部在集合 C 中重新定义一遍，如收敛性，连续性，各种初等函数，级数，微分，积分等等。在集合 C 中，许多数学对象有着更美好的性质，很多更深刻的本质被揭示出来，在 C 中我们可以看到“bigger picture”。至于有哪些 bigger picture 我就不细说了，大家可以看复变函数的教材；我这里只说一条可能是最重要的 bigger picture：

在 C 中所有的多项式方程都是有根的。换成术语的话，我们说 C 是一个代数闭域（不仅如此，C 还是一个特殊的代数闭域：它是包含实数域 R 的最小的代数闭域）。

现在考虑方程

$x^2 + 1 = 0$

：

1，我们可以把它看做是一个 R 上的方程，因为其系数皆为实数。然而它在 R 上没有根，即不存在实数使得这个方程成立。

2，我们又可以把它看做 C 上的方程：

$(1, 0) \cdot (x, y) \cdot (x, y) + (1, 0) = (0, 0)$

此时容易验证 C 中的元素(0, 1)和(0, -1)是上面方程的两个解。人们给这两个解起了名字，一个叫i，一个叫-i。

你既可以认为(0, 1)就和自然数一样是物理世界的客观存在，也可以认为它只是数学家们创造的工具；但无论如何，现实就是包含(0, 1)的代数系统是现代科学的根基。

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