如何不求导求 cos³x+sin³x 的最大值？

知乎精选 2024-06-25 02:00:03

予一人，杂学旁收的废物

$\begin{align*} \sin^3 x+\cos^3 x&=(\sin x+\cos x)(\sin ^2x-\sin x\cos x+\cos^2 x)\\ &=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)\\ &=(\sin x+\cos x)\left[1-\frac{(\sin x+\cos x)^2-1}{2}\right]\\ &=\frac{1}{2}t(3-t^2) \end{align*}\\$

其中

$t=\sin x+\cos x \in[-\sqrt{2},\sqrt{2}],$

由于

$f(t)=\frac{1}{2}t(3-t^2)$

是奇函数，我们只需研究

$t\geq0$

时的情形。

当 $t=0$ 时， $f(t)=0;$
当 $t>0$ 时，依均值不等式，有 $2t^2(3-t^2)^2=2t^2\cdot(3-t^2)\cdot(3-t^2)\leq \left[\frac{2t^2+(3-t^2)+(3-t^2)}{3}\right]^3=8\\$ 所以 $f(t)=\frac{1}{2}t(3-t^2)\le1.$

综上，

$0\leq f(t)\leq1(t\ge0),$

故而

$\max(\sin^3 x+\cos^3 x)=\max f(t)=1.$

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