我被这道题惊了。
一开始，我以为它是一道「数论题」，于是想用素数的方法来做，于是我写下了：
对任意不大于 n 的素数 p，记为 n! 分解质因数时 p 的阶（也即： n! 能被
整除，但是不能被
整除）
那么，原题等价于证明，对于所有不大于 n 的素数 p，有
易见，(Legendre’s Formula)
于是原命题等价于证明，对于所有不大于 n 的素数 p，
有
……
然后我就发现，好像有点复杂，细节很多，即使证明了也不优雅。
然后，我发现了四个大字
组！合！数！学！
于是，我转变思路，反向构造了这个组合题的场景，构造出一道题：
有个人，分成 n 组，每组 n 人，请问一共有多少种分法？
解：
先把这
个人排成 n*n 的矩阵，共有
种排法。
假如每一列的人算组成一队，共分成 n 队，那么：
- 在每一队中，这 n 个人的顺序都是无所谓的，所以算组合数时在每一队中都需要除以 n！；
- 对于这 n 队之间来说，两两的顺序也是无所谓的，所以算组合数时需要再除以 n！。
于是，组队的总方案数是：
这个数必须是整数，因此原题得证！