导线的截面是方的会怎么样?

导线的截面是方的会怎么样?

Patrick Zhang,电气工程师

这个问题有点意思,我来凑热闹讨论一番。

我们知道,当电流通过导线时会产生发热作用,同时导线又对环境散热。导线的发热作用与它的电阻有关,与导线的截面大小和形状当然也有关。导线散热则与它的散热面积有关,与导线的温升(导线表面温度与环境温度之差)也有关。导线发热和散热综合决定了导线的载流量。我们由此隐约感觉到,导线的载流量与导线截面的形状存在一定的关系。

我们寻常所见的导线截面都是圆的,但在工业较大电流条件下使用的部分导线,其截面却是矩形的(包括方形在内),其目的是为了加强散热,等效于矩形截面导体的载流量大于圆形截面导体的载流量。

图 1:导线的截面一般是圆形的,但也有矩形的

在我们日常生活中,我们时不时会看到矩形截面的导线或者导电部件,一般都用在较大电流的场合。

题主的问题涉及到平面几何中有关积周比的知识,涉及到导体发热和散热的物理知识。我用中学生能看懂的方式来一番科普吧。

1.从几何积周比谈起,它与题主问题的答案密切相关

我们看下图:

图 2:若封闭图形的面积 S 相同,则圆形的周长最短

我们以圆形和正方形为例,设它们的面积都是 S,我们来算一算圆形和正方形的周长 M,如下:

我们看到,若 S 相同,则圆形的周长 M 短于正方形的周长 M。

我们把面积 S 与周长 M 之比叫做积周比,用 B 表示。若圆和正方形的面积都是 S,我们来看看它们的积周比 B:

可见,圆的积周比大于正方形的积周比。

事实上,在一切封闭图形中,如果图形的面积相同,则圆具有最大的积周比;如果周长相同,则圆的面积最大。

关于积周比,这可是很有名的一道古希腊几何题。

注意哦,积周比与题主的问题答案密切相关。

2.对导体载流量与题主问题的讨论

我们都知道导体的电阻表达式,如下:

,式 1

这里的 S 是导体截面积,L 是导体的长度,ρ是导体的电阻率,R 当然就是导体电阻了。

我们看下图:

图 3:当导体流过电流时,导体的发热与散热关系

当导体流过电流 I 时,结合式 1,我们可以推得导体产生的热量 Q1 为:

,式 2

式 2 中的 P1 是发热功率,而 t 则是通电时间。

导体自身温度升高所消耗的热量 Q2 为:

,式 3

式 3 中,c 是导体材料的比热容,m 是导体的质量,θ0 是导体之前的温度,θ是导体当前的温度。

导体对外散发的热量 Q3 为:

,式 4

式 4 中的 P3 是散热功率,Kt 是综合散热系数;A 是导体的散热面积,它等于去除掉导体两个端面的表面积,也即导体截面周长 M 与导体长度 L 的乘积;τ是温升,它是导体表面温度与环境温度之差,单位可以用开尔文温标 K,也可以用摄氏度℃;t 是通电时间。

式 4 中的散热功率

就是牛顿散热公式,它是由大名鼎鼎的牛顿推导出来的:

图 4:牛顿散热公式

需要说明的是,Kt 综合散热系数是热对流、热传导和热辐射的综合,一般通过实际测量得到。下图是《高低压电器技术手册》中有关 Kt 的表格:

图 5:综合散热系数 Kt 的取值

导体通电且当其表面温度稳定后,导体温度不再增加保持一定程度的恒定,于是

,即

。我们由此推出:

我们把上式中的长度 L 和时间 t 约掉,再把积周比 B=S/M 代入,得到下式:

,式 5

由式 5,我们得知几件事:

第一:导体的额定载流量与它的最高允许温升

有关,导线的运行温升不得超过

第二:导体的载流量与导体的长度 L 无关,与导体的截面积 S 密切相关。

我们由式 5 的电流表达式看到,电流与导体截面积 S 的开平方成正比,与导体的长度无关。这就告诉我们,当我们在查询导线载流量表时无需考虑导线长度的原因,见下图:

图 5:导线载流量表

第三:当导体的材料、截面积 S 和流过的电流 I 相同时,圆截面的导体温升高于矩形(正方形)截面导体;当导体的材料、截面积 S 和温升τ相同时,圆截面导体的载流量小于矩形截面导体的载流量。

这第三条就是题主问题的答案了。

第三条的本质原因就是导体截面的积周比。如果圆形与正方形的面积相同,由于圆形的积周比大于正方形的积周比,故正方形的周长 M 大于圆的周长,继而正方形导体的表面散热面积必然大于圆导体的表面散热面积。可见在同等条件下流过相同的电流时,正方形导体的表面温度会更低。这就是正方形导体的载流量大于圆导体载流量的原因。

图 6:原来在同等条件下圆形截面导线的载流量小于正方形截面导体的载流量

这就是题主问题的答案。有点意思吧?!

3.题主问题的实际运用

在实际电气工程中,例如低压供配电系统的成套开关设备,若电流较大,则主母线一般采取矩形截面的铜排。下图是低压成套开关设备中的母线系统:

图 7:我用 ACAD 三维功能绘制的低压成套开关设备内部母线系统

我们看到,图 7 中的大电流导体采用矩形截面的铜排,它的电流最大可达 6300A。

图 8:低压开关柜中的铜母线,母线铜排的截面是矩形的

若采用圆导体,不但耗材更多,低压开关柜的散热条件还必须加强,得不偿失。

对于高压开关柜,由于电流较小而电压高,且更加强调电场分布以抑制尖端放电,故母线会采用铜管作为导体。至于小电流的控制线,由于电流小发热也少,当然采用最普通的圆导线为最佳选择。可见,题主的问题必须考虑到运用条件才行。

4.如果考虑到交流电的集肤效应,题主的问题又会如何?

对于交流电,集肤效应和邻近效应是必须考虑的。但对于 50 赫兹的工频来说,集肤效应和邻近效应的影响相对较弱。

图 9:交流电的集肤效应会使得导线外部温升提高

图 9 中我们把导线截面分成外部的 A 和内部的 B 两个区域。请注意:导体内部的 B 区域中相交链的磁通为Φ1 和Φ2,而导体外部的 A 区域相交链的磁通为Φ1。对于交流电的交变磁通,它在导体内部产生了感应反向电动势,阻止原电流的流通。又因为导体中心部位反电动势比外表部分要大,导致导体中心部位电流密度比外表面要小,这就是集肤效应。

系数 Kf 是集肤效应系数 Kj 和邻近效应系数 Kl 的综合。下图是集肤效应损耗系数 Kj 与各参数之间的关系::

图 10:集肤效应系数 Kj 系数的曲线

图 10 中横坐标的 d 就是直径。

我们通过一个例子看看如何求得趋肤效应附加系数:我们设直径为 20mm 的铜棒,当通过 50 赫兹交流电时它的工作温度为 80℃,查表求得铜在 80℃时的电阻率为

,于是有:

对照图 10,我们查得集肤效应系数 Kj≈1.02。

我们设导体的直流电阻是

,导体的交流电阻是

,则对于 50 赫兹的交流电, 有:

。我们由此看到,对于 50 赫兹的交流电,集肤效应几乎可以忽略不计。

我们可进一步求得集肤效应产生的穿透深度 b。对于铜导体它的集肤效应穿透深度大约为 9.3 毫米,2 倍就是 18.6 毫米。故铜导体的直径若超过 20 毫米,或者铜排的厚度超过 20 毫米,则其中心部位几乎没有电流流过。

若导体截面是圆形或者正方形,且圆形的直径或者正方形的边长均超过两倍穿透深度,则圆形导体应当改成圆管导体,而正方形导体的内部也应当挖空,见下图:

图 11:圆导体和正方形导体与穿透深度 b 的关系

也因此,中压和高压的母线一般采用铜管制作,铜管壁厚一般不会超过 15 毫米。

我们把集肤效应和邻近效应产生的交流电阻附加系数 Kf 代入到式 5 中,得到下式:

,式 6

我们看到,Kf 越大,导体的载流量就越低,导体的温升就越高。可见,频率对导体载流量的影响也不可小觑。好在对于 50 赫兹的工频,Kf=1.02,影响不是很大。


通过本帖的讨论,我们会发现在实际工程中,设计处理大电流导线(母线)是很有讲究的。事实上,母线的设计不但要考虑到截面形状、温升和载流量的关系,还要考虑到日晒、环境温度和机械强度,短路电流下的动稳定性和热稳定性,并且与国家标准、行业规范及国际标准也有很深的关联。

可见,题主的问题背后还是有很多知识的。

补充回答就到这里吧。