提名一个高中教材上就有，但是让你自己想能让你想破头都未必给得出的一个证明：纯几何法证明圆锥的截口曲线是椭圆、双曲线或者抛物线。

如果这个问题让你用圆锥面的一般方程来做（至于什么是圆锥面的一般方程，看我二次型的内容），那么没有任何难度（毕竟，形如

的方程代表的曲线类型还是比较容易求得的）；而我接下来贴出来的，就是纯几何法的证明过程。

圆和两条直线就太简单了，但是我还是会贴出来，先卖个关子。椭圆的情况是怎么样的呢？

比如，这里我们就可以用 Dandelin 双球模型来证明，图中圆锥和平面的交线是圆。假设这两个球与圆锥和平面都相切（也就是说，这两个球一方面，球心位于圆锥的轴线上，且它们的主视图是与圆锥的主视图相切的圆；另一方面，和平面相切），那么根据切线长定理，我们能够得到

为定值。这样，我们就知道了这个椭圆的焦点，就是平面和两个球的切点；而长轴长就是

的长度。

当然，在圆柱中，我们也可以通过构造这样的双球模型，来证明截口曲线是椭圆。

同样，这张图，能够证明圆锥曲线可以是抛物线。

一方面，由于

和

是球的两条切线，我们有

；

另一方面，做

平面

，

，则由于

， 有平面

。

因此，

是

在平面

内的射影，

是

与平面

所成的角，由于

（因为都是平面

的垂线），它等于圆锥的半顶角

。

与此同时，

（两直线平行，内错角相等）。因此三角形

和三角形

全等，

。

这样就证明了

，它符合抛物线的定义。

（这种情况应该是最复杂得了，因为涉及很多平行线和垂直线，要用好平面和轴夹角等于圆锥半顶角这个条件，因为上一句话是个等式，所以定量的成分比较多）

最后就是双曲线。

这次比较简单。只需证明

即可。截口曲线

至于截口曲线可能是圆或者两条直线的证明？虽然它们太简单，但是我还是要说：圆对应于截面垂直于轴的情况，而两条直线是圆锥的两条母线。

这里给大家一个思考题：如何证明圆柱的截口曲线是椭圆呢？（答案：两个球都是与圆柱面和截面相切的球，得到的两个切点就是椭圆的两个交点，和圆锥是类似的）

最后，如果你不希望有这么多几何证明，我可以来个代数一点的：

（椭）圆锥面的一般方程，可以从个圆锥面得到。（当然，由于椭圆锥面是圆锥面伸缩得到的，而圆锥曲线伸缩得到的仍然是圆锥曲线，因此，椭圆锥面的截口曲线也是等效的）

一个形式最简单的圆锥面方程，就是

。通过一个可逆线性变换，我们得到

代表的一定是椭圆锥面（如果

线性无关）。由于圆锥面可以任取，即使平面固定为

，它也足以表示任意截口曲线。

代入

后，这就是二次曲线。因此，圆锥曲线（二次曲线）的统一方程，化简后是

。利用这个二次型矩阵的相似对角化，我们可以得到这个曲线的属性。

例如，上面的曲线

就是一个椭圆。