提名哲学
1951 年由肯尼斯·阿罗（Kenneth J．Arrow）通过数学证明的“阿罗不可能定理”，在哲学界引发了一场持续了几十年的百家争鸣
阿罗不可能定理讲述了这样一个事实：
如果社会成员数量有限，并且候选偏好大于三个，那么不存在一个非独裁的选举机制，可以将个人偏好“理想地”整合为社会偏好排序
其中“理想地整合”应满足地条件如下：
- 能够做出一个明确的社会偏好排序，不会卡 bug（比如出现 A>B，B>C，C>A 的情况）
- 所有社会成员都同意该观点：不存在另外一个社会偏好排序优于通过该选举机制选出的结果
- 对任意两个候选偏好，如果全体成员都不改变他们各自对这两个候选偏好的排名，那么该偏好在选举结果中的位置也不会改变。即：如果有成员改变了自己的偏好排序，那么没有被他改变的候选偏好，在社会偏好中的排名理应也不受影响
阿罗不可能定理的证明非常多，除了由其本人最早于 1951 年提供的证明[1]外，陶哲轩也曾给出过一个非常简洁漂亮的证明[2]。
这个定理是如何引发哲学界的百家争鸣的呢？
这是因为在政治哲学中，长期存在着“政治的目的是什么”的争论
功利主义（如穆勒、边沁）认为，政治的目的是实现社会总自由的最大化；部分社会契约论者（如诺齐克）认为，政治的目的是最大程度保障每个个体的自由；另有一部分学者（如罗尔斯）[3]认为，政治的目的应当是最大程度地促进公平，资源应该优先被用于改善一个社会中处境最差的社会成员的处境
阿罗不可能定理对上述三种思想流派都产生了影响，其中受冲击最大的之一是罗尔斯
早在 1971 年，罗尔斯的《正义论》出版时，就有批评者引用阿罗不可能定理，指出不存在这样一个社会偏好排序，可以根据这个排序计算出社会成员的处境排名，因而根本不可能做到“优先改善一个社会中处境最差的社会成员的处境”，因为你根本识别不出谁才是那个“社会中处境最差的社会成员”。
后期的罗尔斯接受了该批评，于 1999 年重新修订了《正义论》，在新版的《正义论》中，他强调将“识别最差处境社会社会成员”的工作放置于“社会偏好排序”之前，即我们根据任何标准（不一定是追求一个公认的严谨的社会偏好排序）优先遴选出处境最差的人，然后再谈社会偏好排序等其他事
不仅是罗尔斯本人，其他罗尔斯的拥护者也针对这个问题展开了广泛的讨论，其中不乏同样使用数学工具的，例如著名的印度经济学家阿马蒂亚·森（Amartya Sen）
在其 1977 年的论文[4]中，森放宽了阿罗不可能定理关于“完美”的定义，用社会价值色彩的“个人效用”代替了阿罗的“个人偏好”的概念，并用其来重新定义社会偏好，重新构建了一个新的数学模型，并用该模型证明了罗尔斯提出的优先改善一个社会中处境最差的社会成员的处境”是可行的
数学知识对哲学的影响远远不止我提到的这个例子，其他的例子包括斯坦福大学哲学系教授布莱恩·斯科姆斯（Brian Skyrms）利用控制论中的“李普雅诺夫稳定性理论”，通过求矩阵特征值论述了社会契约的诞生和演化，等等，很值得对哲学感兴趣的数学研究者和对数学感兴趣的哲学研究者一读