你先搞明白电容“充放电”的原理，剩下就全都是自然而然的了。
理工科知识都这样，基础不牢，后面说什么都是对牛弹琴。
电容充放电原理又是什么呢？
很简单，丝绸摩擦玻璃棒，玻璃棒带电了，对吗？
为什么玻璃棒会带电？因为它上面的电子转移到丝绸上面去了，于是微观上，带负电的电子少了一大片，出现了“亏空”，所以它就带了正电荷。这就叫“静电”。
进一步的，我们把带电的玻璃棒和验电器接触，验电器的铝箔是不是张开了？
为什么会张开呢？
因为验电器上面的一部分电子转移给了玻璃棒，中和了它所携带的“正电荷”——同时也使得验电器本身带了正电。
你看，说来说去都是电子的迁移，对吧。
当然，这些说的是静电。
我们知道，静电可以通过导电物“放电”。秋冬季正是静电的高发季节，如果天气干燥，你大概已经吃过不少次静电的“苦头”了吧？
通过导线连接玻璃棒和验电器，电子就会沿着导线完成转移——和你直接用玻璃棒接触验电器的效果毫无差别。
这个过程中，导线中就产生了“电流”。只是这个电流持续时间极短，啪一下闪个电火花，没了。
为什么没了呢？因为玻璃棒和验电器之间已经没有“电位差”了。
你一半，我一半，现在大家都带正电，电势相当，自然就不可能继续存在什么电流了。
那么，如果可以想出一个办法，使得电位差一直存在……电流是不是就可以一直存在了呢？
没错。
比如，通过原电池反应，我们就可以在原电池的正负极之间一直保持一个电位差；那么当用导线连接它们时，我们就得到了“稳恒电流”。
类似的，如果我们把两片铝箔放的很近、然后用金属线把它们分别和原电池正负极连接时，会发生什么？
显然，接正极的铝箔带了正电，接负极的铝箔带了负电。
你可以找一个 6.3 伏 1000uF 的铝电解电容器，和干电池正负极相连（注意接对正负级）——现在，取下电容器，用镊子短接它的两个引脚，是不是会啪的一声同时闪烁个电火花？
这就是电容器的充放电。
你可能注意到，我前面提到的电容器是“铝电解电容”，而且这种电容居然还分正负极！
——啊，我本来就够晕了！你就别再拉扯奇奇怪怪的东西进来了！
我猜题主一定会这样哀嚎。
但理工科有一点很“诡异”：一旦掌握了根本，你拉扯进来的东西越多，它反而越能帮你深入理解相关知识。
——学习理工科的乐趣，恰恰正在于此。
让我们从头再走一遍吧。
还是两片铝箔，我们分别用带正电的玻璃棒和带负电的橡胶棒接触它们，使它们分别带上正负电荷。
很好。
你会注意到，这两片铝箔彼此相吸。你知道这是静电吸力的作用——归根结底是电场的作用……
现在，我们把两片铝箔慢慢分开……
这个过程中，我们需要抵抗静电力做功；拿的越远，我们做的功就越多……同时两片铝箔间的电势差也在增长。
但是，整个过程中，两片铝箔上带的电荷数量并没有变化。
这说明什么呢？
说明当两片铝箔隔的比较远时，给它们充上同样多的电荷，需要提供的电功就会更高——不然就要违反能量守恒定律了。
类似的，当两片铝箔隔的比较近时，由于不同电荷之间的互相吸引，给它们充上同样多的电荷就更“容易”——这是从电场原理出发的“补刀”。
一个物理现象往往可以从多个不同方向解释，不一定非要死磕能量守恒（而这种从多个不同方向解释、最终结论却完全一致的现象，就是“自洽”。一切可靠的理论，其内部一定是自洽的）。
我们把“充入电荷的容易程度”叫做“电容量”。
从我前面的论述，在搭配一点点电场 / 电势能 / 做功方面的知识，很容易推出：电容量和极板面积成正比，和极板距离成反比——介电常数太高端，咱暂时就不管了。
嗯，你看，掌握了根本，连电容公式咱都用不着求人，自己都能猜个八九不离十，对吧。
显然，要把电容做大，一个是极板的面积要大（所以需要用大片铝箔卷起来），另一个是极板之间的距离要低。
电解电容器就是利用铝极板表面不导电的氧化铝层作为间隔，和电解液充当的另一个电极构成了一个电容器。这个氧化层极薄，因此电解电容器才能用很小的体积做到很大的电容量。
缺点就是，它只能接受一个方向的充电。一旦接反，氧化铝层就会被侵蚀、破坏，电容器就坏掉了——这里又和电化学知识串起来了。
物理 / 化学就这点好玩。你思考的越多，就越会发现，似乎一切一切知识，最终都能归结到很少几条简单的道理上。
最终，你似乎并没有学到任何新知识，只是对牛顿三定律能量守恒等等等等理解的越来越深刻了；而这种深刻反过来能帮你触类旁通，甚至独立发明 / 发现出新的东西——就好像电容量公式一样。
学的越多，懂的越少；但却越发能应付更多、更复杂的场景。一旦你有了这个感觉、然后在新知识中验证通过，你就知道，你大概是把知识学到手了。
嗯，现在，电容器那神秘的面纱是不是已经不存在了？
一旦理解到这个程度，题主的问题就完全不算是问题了。
电容器充放电的原理明白了，那么“电容器两端电压不能突变”自然也一下子就能推出来了：电容两端的电压由电容器极板上的电荷量以及极板间的距离决定；电荷需要一点一点的充放、距离也不存在“瞬移”，电容两端的电压自然就不能突变了。
类似的，为什么电容器不允许直流电通过？
很简单，它中间是断的，两片铝箔并未接触。
刚接入电源时，当然会有电流给它充电；但一旦两片铝箔间的电压被充至电源电压，电路中自然就没了电流。
因此，电容器无法让直流电通过。
为什么电容器允许交流电通过？
因为交流电路相当于一个正负极不断变化的电源。
刚接入电容器时，它也会像直流电路一样为电容器充电；但是给电容器充满电后，它的输出电压仍在改变（所以才有电容电流和交流电路电压相差 90°这个事实），甚至就连电压方向都在改变。
于是，当它的电压低于电容器两极电压时，电容器就开始放电；当它的电压极性方向转换后，它又从另一个方向给电容器充电……
正因为交流电路的电压没一刻固定，接入其中的电容器自然一刻不停的在充放电之间转换。而这个持续不断的充放电过程就使得电路中一直存在电流。
打个比方的话，直流电就好像环形赛道，在外部电路，电子从负极出发沿电路跑到正极；而在电源内部，电子又被化学能 / 电磁场从正极搬到负极，一刻不停。于是就有了电流。
（准确的说，并不一定是把电子搬到负极；比如电池内部就是通过化学反应在负极产生过量的电子，从而维持了正负极之间的电势差——当电池未接入电路时，“过量的电子”还能阻止负极化学反应继续进行。因此，未使用的电池负极锌板并不会很快的被消耗掉。直到你接通正负极、使得负极那“过量的电子”被送往正极、快速消耗掉。）
而电容器会阻断这个过程（电路是断开的），电子们给它充满电后，路上就被堵到动弹不得了。
而交流电就好像 AB 两个城市，上午汽车从 A 开到 B，下午汽车从 B 开到 A。
现在两个城市之间道路断了，但在断点附近修了两个巨大的停车场；于是上午的汽车仍然可以从 A 向 B 出发，只是会停到中间停车场；到了下午，中间停车场的汽车回到 A、同时从 B 开来一些汽车，停到断点靠近 B 的那一侧。
你看，虽然汽车并不能实际的从 A 开到 B，但由 A 向 B 以及由 B 向 A 的车流却可以存在。