我曾经认真想过这个问题，并且做过一些术语史的考察。这里分成几个问题说吧。
1. 为什么网上那么多人会说“拉丁语系”？
我觉得原因很简单，说这种话的人，就是对语言知识一知半解，于是选取了两个听说频率最高的词“语系”和“拉丁”进行了组合。这类似于，听说过“猫科”、“犬科”这些术语的人，类推出了“鲸科”、“鱼科”、“狼科”等等。
这里的“一知半解”不是贬义词，我想说的是这样的人，他们的理解，是历史比较语言学出现之前一般人所能达到的极限：
- 知道语言有亲疏之分，模糊地知道西欧的很多语言是相近的，在文化上也相通。
- 知道欧洲很多语言的祖先是拉丁语，知道英语等语言中很多词汇是拉丁语词源的。（坦白说，不少人大概是从鼓吹“词源法背单词”的商人那里知道这一点的。）
但同时，他们——
- 不知道如何描述那种语言间亲疏关系的层级。或者，他们根本意识不到这种层级的存在，在他们对语言的认识中，只有“语种”和“语系”两极。这是很朴素的认识，类似于近代生物分类学出现以前，一般人在描述动植物时只会说“种”和宽泛的“类”，没有界门纲目科属种之类的固定术语。
- 不知道具体有哪些语言是从拉丁语分化出来的，不是很清楚用拉丁字母书写的语言都和历史上的拉丁语有什么样的关系。比如，问他们“英语是不是拉丁语的后代”这个问题，很可能得到的是肯定答复或“不知道”。
这样的情况下，构造出“拉丁语系”一词是很正常和合理的行为。
2. 中文学术文献中是否出现过“拉丁语系”？后来为什么不用了？
出现过。在民国时期，语言学术语并不统一，“语系”可以很宽泛地使用。比如，季羡林就发表过这样的译文：
这里我们看到，所谓“拉丁语系”其实是 die romanischen Sprachen 的翻译。但季羡林未用“罗曼”或“罗马”来对形容词 romanisch，而是用了“拉丁”。
建国后，“拉丁语系”也出现在当时最具权威性的文本——马列经典著作汉译本中。比如人民出版社 1958 年《马克思恩格斯文选》两卷集（这是中文《马恩选集》和《马恩全集》出版前最为流行和权威的马克思恩格斯著作版本）中有这样的句子：
这里的“拉丁语系诸国的蒲鲁东派”，不论是马克思恩格斯的德文原文还是俄文译文，都是 der Proudhonismus in den romanischen Ländern / Прудонизм в романских странах，也就是中译本仍然把“romanisch/романский”译为“拉丁”。
然而，如果看今天通行的马恩中译本，会发现这句话已经改为“罗曼语族各国的蒲鲁东主义”。这种称呼上的变动是从什么时候开始的呢？我认为是从译介苏联的语言学著作开始的。我看五十年代翻译过来的苏联语言学课本，已经很稳定地使用“语系——语族——语支”这三级分类法了。这是苏俄语言学的典型做法，今天，俄语维基的 Языковая систематика 条目上还写着：
Основными верхними таксономическими уровнями систематики являются: семья, ветвь, группа.
这也是很多俄国语言学课本、讲义上的写法。中国语言学界将个三级分类法使用得很严格——甚至比苏俄语言学界还要严格，比如，全国科学技术名词审定委员会公布的《语言学名词》（2011 年出版）里，甚至把语系 family——语族 group——语支 branch 贯彻到每一个具体语族、语支的叫法上。比如《语言学名词》中会把突厥语族译为 Turkic group，但实际上英语文献里默认都说 Turkic langauges，俄语也基本只说 тюркские языки，没有什么 Turkic group / тюркская группа 的说法，不会把 group / группа 嵌进去，除非在特定语境下。而且“语族 group——语支 branch”和俄语的“ветвь——группа”正好是反的。
3. 外国都是如何处理语言分类中的这种层级呢？是否会叫不同的称呼？
首先，我不得不说，我不完全赞成那种“都是 language family 在不同情况下的相对说法，所以无需较真”的看法。我自己的看法是，在正经地谈语言分类问题时，应当尽量尊重中文世界已经通行的术语，尤其是对“语系”一词应当避免乱用，至于非此主题的闲谈，那无所谓，的确不必太认真。
原因是，中国语言学界死守三级分类法的这个习惯，虽然有些严苛且强迫症，但是不是毫无根据的，这是欧陆语言学传统的一个体现。具体说，中国这个说法来自苏俄，苏俄又来自德法——现代比较语言学的源头。
上面那位匿名用户引用了很多维基百科，但就在他引用的法语维基上，我们能看到这样的说法：
Le terme de « famille » a tendance à être restreint aux niveaux supérieurs, particulièrement les plus élevés pour lesquels aucune parenté plus large ne se laisse facilement démontrer.
也就是说，一般倾向是把 famille 一词用于最高级的分类，相当于汉语的“语系”一级说 famille。德语维基上也说：
Streng genommen bilden die romanischen Sprachen keine Sprachfamilie, da sie zu einer umfassenderen Einheit, der indogermanischen Sprachfamilie gehören.
日语维基里写：
同系統と証明されていない言語群をまとめて呼ぶときは「～諸語」という（例：アルタイ諸語、アメリカ・インディアン諸語、カフカス諸語）。ただし、語族か語派か語群かを問題にしないときも単に「～諸語」と言うことがある。また複数の語族をまとめた大語族も存在するが、仮説段階であり同系と証明されてはいない。したがって、比較言語学において語族とは同系統と証明されている最上位の言語グループと定義される。
其实，在英语世界，尽管把罗曼语（Romance languages）也说成是 language family，但这个 language family 和印欧语这种 language family 的地位也是不同的。比如要列举
，默认说的都是印欧语、汉藏语、阿尔泰语等“最高级”分类阶元，不会把罗曼、斯拉夫、日耳曼、突厥什么的一股脑列进去。
如果阅读德法的比较语言学著作，会发现其中使用 Sprachfamilie、famille de langues 是比较谨慎的。
比如法国的历史比较语言学巨擘 Antoine Meillet 主编的 Les langues du monde 里，在把印欧语下面的各语族并列时，都用 groupe 也不用 famille，以避免“两者同级”的误会。
再比如印欧比较语言学的奠基者之一、德国语言学家 Karl Brugmann 在他的 Grundriss der vergleichenden Grammatik der indogermanischen Sprachen 中，对语族一级都叫 Zweig，这也就是俄语的 ветвь。
这种术语上的使用，当代德国语言学界仍是保留着的。例如今天德国一本讲印欧比较语言学的经典教材——Michael Meier-Brügger 的 Indogermanische Sprachwissenschaft 里，他本人对 Sprachfamilie 和 Sprachgruppe / Sprachzweig 的用法就是有系统分工的，前者用于印欧“语系”，后者用于汉语里说的语族或语支。整本书都是如此。
虽然对于语言分类的阶元并没有界门纲目科属种、军师旅团营连排这样的统一而公认的术语，在不同学者、不同学术传统的语言学著作中有各种各样的叫法，但是在说明问题时为了避免混淆，有时确实有必要从术语上区分中不同的阶元、层级。而且，国内语言学界已经有了“语系——语族——语支”这样稳定的用法，那么我想可以在必要时用这套术语做澄清。日本语言学界的“語族——語派——語群”和汉语学界的情况很像，我看日本语言学家用着也并没有什么抵触。我认为中、日、俄、德、法在语言分类的术语上构成了一个大传统，这个传统有它的优势，不必把它完全丢掉，对英文资料马首是瞻。
最后——
4. 见到有人用“拉丁语系”是否应该纠正？
我个人认为（不代表任何人），在一般的交往中，不必患上术语强迫症。特别是，在中文互联网上非学术问题的讨论中，说“拉丁语系”时，常常不是谈发生学意义上的语言分类问题，而是用“拉丁语系”指（广义）西欧的那个语言 - 文化的集合体，包括了日耳曼语和罗曼语。这可以说是语言分类上的一种
，不必对它死抠。只要对方表达的意思是“英语、法语等语言有很接近的地方”，并且在相应语境下有意义，能说明一定问题，那就可以接受。
但是如果有人确实是在讨论语言分类问题时夸夸其谈：“印欧语系下面分为拉丁语系和非拉丁语系”，那么可以指出他这套分类法没人用，是他自己发明的，而且这种不严谨的术语和分类既不说明问题，也会引起别人误解。
而如果有人是为了骗钱而瞎扯一通，比如“德语、波兰语、罗马尼亚语都是拉丁语系，是拉丁语的后代，来我这里学拉丁语吧，学完后你能通晓所有欧洲语言”之类的。那么，应该揭穿他。