不要简单的把乘法理解成加法的简化记号（＂三个 2＂记为＂2 乘以 3＂），乘法的本质是映射的复合。
矩阵乘法是最常见的不满足交换律的乘法。把一个
的矩阵看成是从
维线性空间到
维线性空间的线性映射，那么
矩阵和
矩阵的乘法的结果就是从
维空间到
维空间再到
维空间的复合映射。当
的时候，乘法就成了一个集合上的二元运算。
加法本质是相同对象的运算，而乘法的本质是不同对象之间的运算。
比如一箱有 60 个鸡蛋，10 箱有 60x10 个鸡蛋，其实我们考虑的是两个集合：鸡蛋计数集合
和箱子计数集合
，这里的乘法实际上是一个二元函数
。
上天然的运算是加法（一个箱子 + 一个箱子=两个箱子），f 对
满足分配律（2 箱鸡蛋 +3 箱鸡蛋= (2+3) 箱鸡蛋 = 5 x 60 个鸡蛋）这样我们就定义了最原始的乘法。数学上这样的关系叫作群
在群
上的作用。
但我们很容易看到所有的计数集合都是同构的（整数加群），于是上面的运算就成了一个加群在它自身上的作用
. 这时候我们可以增加一些假设，比如：
结合律：
交换律：
就得到了常见的整数乘法。
我们从小学就知道＂3 乘 5＂和＂3 乘以 5＂是不同的算式，其实这就是在强调乘法的本质是来自不同集合的元素的作用，只不过刚好整数乘法的交换律使得这两个运算结果是一样的。
对于这些理论感兴趣的读者，可以阅读抽象代数和范畴理论的相关书籍找到更准确深入的介绍。
好了，现在我们有整数以及加法、乘法了，什么是分数呢？对了，我们还没有定义除法。＂1 除以 2＂是什么东西我们并不知道啊！但我们知道除法是乘法的逆运算，就像减法是加法的逆运算一样。
回忆一下当我们只有自然数和加法的时候，我们是怎么定义负数的呢？什么是＂1-2＂？首先对于
我们定义
是恰好满足
的那个自然数，它满足
.于是我们对于
的时候也就这样定义，把所有的减法式
统统用最前面这个式子
代表，简记成
.
现在分数也是一样，借用张贤科老师的一句话，＂一除以二不知如何相除，以不除为除＂，我们不知道(1 除以 2)是什么，但我们知道(1 除以 2)=(2 除以 4)=(3 除以 6)=...，我就把它们统统用
代表。
每次我们像这样延拓运算的时候，我们旧的运算法则很自然的对于新产生的＂数＂依然成立，比如整数的加法，有理数的加法和乘法。
从有理数到实数的扩张与上面的做法别无二致，只不过它是针对另一种运算（取数列极限）所做的扩张，这个过程叫做完备化。
有关实数这些内容以及你所说的
，你可以从任何一本＜数学分析＞中找到严谨的逻辑论述。在这里只想补充一点：你提出的指数函数恰好是最重要的函数（没有之一），三角函数，对数函数以及双曲函数都是由简单的
发展而来，所谓＂基本函数＂其实只包含多项式函数和一个指数函数而已。
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补充一下看到你说欧拉公式才明白你所说的是
。这就要扯到复数。复数的定义方式有很多，我们按照上面的思路，定义
为
，把之前的加法，减法，指数函数的定义形式（指数函数用级数定义）都扩张到复数上来，
就有定义了。
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另外关于面积、体积与乘法的关系。与其说它们与乘法有关系，还不如说它们与行列式有关系，满足乘法关系只是在所有向量两两正交的时候的特例。
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2021.4.29：现在知乎支持 latex 了，改了一下几个公式，内容没有变化。但是知乎中 latex 公示的大小似乎跟文字不太成比例，希望以后能够优化一下。