我来乱入一下生物里，很有趣反直觉的事实，需要一点简单的数学知识的人才能了解。
生态环境中的种群皆难逃一死，必然会灭绝
先来简单科普一下 Logisitic 增长：
想像一对 可以不停的生小兔。每过一段时间之后，种群数就翻倍，这个叫指数增长
但是兔子不可能永生不死，环境中的食物和空间也是有限的。随着兔子越来越多，单位时间内繁殖出来的新兔子就越来越少，直到最后新生兔的数目和死亡兔的数目达到一个平衡，这时的兔子总数被称为环境容纳量（K）。一个被普遍接受的描述模型就是 Logisitic 增长曲线：
这个模型非常简单，它假设随着种群数增加，种群的繁殖速度呈线性的下降，也就是
------ 背景介绍结束的分割线，进正题 ------
这个模型中，种群只有一个稳定的不动点，就是环境容纳量时的种群大小。种群为零是一个不稳定的不动点。只要种群不为零，给无限长时间，种群大小一定趋于环境容纳量。
但是这个模型还有一个微小的缺陷：真实情况中的种群生长是随机且离散的而不是确定、连续的。我们不可能看到有半只兔子被生出来。
所以我们就要把模型稍微变动一下，变成一个随机过程。
环境容积量就变成了
因为这个模型里面 0 点是个 absorbing state，种群数量一旦降到 0，以后就只能为 0 了。然后进行一番计算我们就会发现，Logisitic 增长的种群，不管四个参数取什么值，总是不可避免的。
做一个简单的计算就可以发现了：
我们计算一下当时间趋于无穷（达到平衡）时的种群大小为 1 的概率：
然后种群大小为 n 的概率呢？
由于 P(1)=0，我们可以推出来对于任意正整数 n，P(n)都等于 0，P(n>0)严格为 0。
由于所有的概率加在一起等于 1，那么 P(0) = 1，给定无穷大时间种群一定是会灭绝的。
更复杂一点的，可以进一步计算灭绝的期望时间，和环境容纳量是正相关的。可以想见，环境越好，种群越不容易灭绝。
这个结论还可以进一步，拿掉具体的生长和死亡函数，再做非常强的推广。如果环境容纳量存在（不为无穷大），种群的灭绝几乎是不可避免的，一旦允许种群数量可以爆炸到无穷，种群就可以免于灭绝。
想不灭绝，就只能穷人靠变异，富人靠科技，不断地把旧的种群灭了，给自己续。
参考：Lecture 11: Logistic growth models
互帮互助的群体可能灭得更快
生态上把这个称为 allee effect。前面提到 Logisitic 增长假设种群越大增长越慢，而 Allee effect 提出，种群中的合作行为还可以提高增长。
这样种群的增长就受两个因子控制了：种群越大，合作越多，促进增长；但是种群越大，竞争也越多，抑制增长。
如果环境容纳量不变——不管兔子的社会结构是怎样的，一个环境内可以容纳的兔子可能也不会发生太大变化，那么会发生什么呢？
虽然最后都还是可以达到环境容纳量，有合作的，反而活得不如各管各的长得快。更甚至，如果合作的强度太大了，当种群数量下降到一定程度（critical population），所有的兔都别想活。
这个在生物保护上有重要意义。历史上有很多这样的例子，比如美国的旅鸽，今天中国的禾花雀。一开始有茫茫多的鸟在天上飞，人们就捕来吃，吃着吃着，种群大小跌破了 critical population，整个物种就进入慢性死亡的节奏。今天生物保护往往要把同种的很多个体集中到同一个保护区，也是类似的道理。
在随机过程中，Allee effect 也会导致种群更倾向于灭绝。下图比较的是，给定一个初始状态，种群发展过程中在增长到 b = 40 之前先下降到 a = 5 的概率。
较低的线是计算的指数增长时的概率分布，可以看到，当种群数目趋近 15 时，这个概率很快就可以忽略不计了。
而较高的线计算的是指数增长和 Allee effect（critical population = 20）的叠加效应。可以看到，从 5~40，整个种群都有一个明显的概率会发生崩溃。
但是为什么自然界中还有那么多合作的、社会性的生物呢？这个问题仍然没研究太清楚……
参考：Learn Science at Scitable；Dennis 2002 Allee effects in stochastic populations
和上一个话题的结论比较像的：
自我抑制的生物环路反而对外界信号响应得更快
这个虽然有点反直觉，但是没什么高科技，shut up and calculate 就解决了。
考虑一个基因的表达，蛋白质 X 会以 Ks 的速率合成，Kd 的速率被降解。
这时候对合成过程的反馈有三种情况，不调节（a），促进合成（b），抑制合成（c）
然后就可以列方程了
第一个简单调控是可以得到解析解的，后两个一般都是用数值求解的方法去计算。这时候我们计算一个 Ks 从 0 秒变为 1 的状态（基因由关变开），当控制 K 和 n 常数一定的情况下，我们会得到负反馈比简单调控快，前两者都比正反馈快。
在生物的基因调控网络里面，负反馈的出现概率远远超过正反馈，其中一个可能的原因就是为了实现对环境变化快速的响应。