为什么裤子前后穿反了不能通过「把裤腰旋转180度」的方式调整?

为什么裤子前后穿反了不能通过「把裤腰旋转180度」的方式调整?

为什么裤子前后穿反了不能通过“把裤腰旋转180度”的方式调整(而裙子可以)?

三川啦啦啦,热爱数学怕做题,只为好玩费心机。

我将问题修改一下:除脱裤子之外,不存在一种连续移动的方式,使得左右裤腿互换位置。

显然题主的问题是以上命题的推论。

由于我们能做的只是将裤管曲面(见上图)的边界三个连通分支(分别同胚于圆)贴着两腿、腰臀移动(想象人的两腿、腰无限长),例如卷裤腿边,边卷边移动,我们可以将其视为同伦变换,这说明这三个圆只能在裤管曲面上运动。所以问题的拓扑学表述是:左右两个裤腿边缘是否同伦,即其中一个能否可以在裤管模型上连续形变到另一个。

但是我们知道,两个裤腿边缘岂止不同伦,它们甚至都不同调!(只有算上腰口,它们三个依定向相加,才是零调的)。

所以这种方式一定不存在。


补充一下拓扑细节:

在 3 维空间中挖去同顶点的三条射线,同伦于裤管曲面:

三个圆分别套在三条射线

上,在上述空间内连续形变。

感谢评论区老哥 @图腾 补充。

注:同胚、同伦、同调三者关系:前者可以推出后者,后者推不出前者。这就是用同调证明的依据。关于同调,我之前写过一篇文章三川啦啦啦:定向角度看同调群(一)


看到题主又补充了裙子,这个拓扑结构就更简单了。

裙子一般而言同胚于平环(忽略裙子上可能会有的洞洞),而平环同伦于圆。把人的躯干抽象为一根两端无限延伸的柱子,圆 - 裙子就是在三维空间挖去这样的柱子内连续形变。

啪,沿着这根柱子的方向一压缩,这个空间同伦于平面挖去原点,后者又同伦于圆……

所以圆 - 裙子在同伦型为圆的空间中连续形变,实际上就是圆到圆自身的连续映射,由 Hopf 定理,这种映射可以由映射度

完全分类:

也就是说,你把裙子爱转几圈转几圈,正着转反着转,转到原地起飞都可以。

最后回答一下题主的问题:当把裤腰旋转 180 度,会发生什么?

学过复变的人知道,当你绕含有两个奇点的区域一周积分,相当于你绕两个奇点各转一圈。也就是说,你只能两圈两圈地转。如果只转 180 度——半圈,那么相当于绕两个奇点各半圈。复变和上同调的关系密切,我就不展开了。

现在这个裤腰口相当于大圆,两个绕奇点的小圆(与大圆反向)相当于裤腿边。所以“把裤腰旋转 180 度”只会——裤子裂开。