谢邀。这个问题问得太大了。几乎每一个领域都有许多尚未得到证实的猜想，只不过对于数论方面的猜想一向是比较有名。原因很简单：数论问的问题好理解啊，很多学过小学数学的小朋友都能看懂题目。当然，做出来就是另外一回事儿了。
看到很多人举数论，几何方向的问题，或者是千禧难题这种知名大问题，我就举一个在偏微分方程领域中的一个问题吧：无穷调和函数（infinity harmonic function）
在
的
正则性.
我是 2016 年 7 月在 Reading 大学的听 Evans 大佬暑期学校讲课的时候接触到这个问题的。 至于 Evans 大佬是谁，你如果没听说过他的名字可以说你没学过 PDE.
他在最后一次课的时候介绍了无穷 Laplace 方程以及一些等价定义。其中一个等价定义就是，假设
是定义在开集
上的一个无穷调和方程，那么对于任意的开集
和任意
上的 Lipschitz 函数，如果
在开集
上的边界值相同，那么
在
上的导数长度最大值一定小于等于
在
上的导数长度最大值。用一个直观的方式去理解就是，我们知道爬坡的时候，坡度越大你爬得越累。而沿着这个函数的图像，无论从哪个地方开始爬，你都能爬得最轻松的。因此它在图像处理等方面有一些应用。
这个方程由 Aronsson 于 1960 年左右发现并开始研究，它的解的准确定义是在 1990 年左右用粘性解的方式定义出来，而 Evans 从那个时候开始就在研究这个方程，并且在 21 世纪初的十年推动了一大批人去考虑和这个方程相关的问题，然而直到现在，这个方程的解只有在平面的
正则性得到了证明，在高维的函数梯度的连续性依旧是个公开问题（高维现在最好的结论是 Evans 和他学生 Smart 的处处可微性；这也已经是 10 多年前的结果了）。
这个方程的难度在于，由于它的二阶导数矩阵是
和它自身的张量积，所以它的秩处处为
. 换句话说，当维数大于等于
的时候，这个方程在每一点都是退化的。更为神奇的是，Evans 在 1993 年左右证明，并不是所有的无穷调和函数都可以用光滑的无穷调和函数逼近。一个典型的平面上的非光滑无穷调和函数就是
.
数学上有很多公开问题，（椭圆）偏微分方程里面也有不少的猜想，为啥我专门把这个问题拿出来讲呢？因为在那次课的最后，Evans 很伤感地说了一句：
如果未来谁能解决这个问题，请将他（她）的文章放在我的坟墓前。（大致意思）
或许是我这个人有些多愁善感吧，我当时就觉得很震动。一位功成名就的数学家花费了 20 多年去考虑一个问题，并且依旧在不断地思考，却无能为力把它解决，可能不得不成为自己一生的遗憾（Evans 很快就要退休了）。而现实是，自从 2011 年以后这个问题的关注度越来越少，甚至于他的学生很多也不得不放弃这个方向去做其它的问题，以至于近十多年这个问题几乎没有任何实质性的进展。这个问题的困难达到了，可以说几乎现在没有人有任何想法去做它（所有已知的方法几乎全部失效）。为了生存，大家只能寻找新的方向去做，而把这个问题留在心里。但凡谁能在这个问题上推动一点点，他都将得到至少 Evans 大佬的关注。【想要大佬的推荐信吗？想要得到大佬的关注吗？赶紧考虑这个问题吧~】
希望 Evans 大佬在有生之年能够看到这个问题的解决吧。