对数是怎么被发明的？

童凌，医学信息学 PhD

先提一个问题：

10,000*1,000 等于多少？

如果不是太蠢的话(XD)，我相信大家都不会这样算：

简单地数一下 0 的个数，两个数字 10000, 1000 分别是 4 个 0 和 3 个 0。所以答案就是一个拥有 4+3=7 个零的一个数，即 10,000,000。

在这样的简化计算过程中，我们实际上就在不知不觉中采用了对数计算方法。

最初发明对数计算方法的人，就是想到了可以创造出一种新的计算乘法和除法的方式，将它们转换成加法和减法：

$\log(ab) = \log(a) + \log(b)$

$\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)$

就这两个等式，给数学家们省下了多少时间和生命！

我们举个使用对数公式和对数表简化计算的例子：

假设

$x=567.89×3141.59$

，

两边同时取以 10 为底的对数，得到：

$\begin{aligned} &&\log(x)=&\log(567.89×3141.59)& \\ & &= & \log(567.89)+\log(3141.59)& \\ & &=&\log(10^2×5.6789)+\log(10^3×3.14159)& \\ & &=&2+\log(5.6789)+3+\log(3.14159)& \\ & &=&5+\log(5.6789)+\log(3.14159)& \end{aligned}$

以四位对数表为例，对数表提供

$\log 1.0000$

至

$\log 9.9999$

的值，

查表可得

$\log(5.6789) = 0.7543$

和

$\log(3.14159) = 0.4971$

。

所以

$\log(x) = 5+0.7543+0.4971 = 6.2514$

，两边取指数得

$x = 10^{6.2514} = 10^6 \times 10^{0.2514}$

。

根据对数表反查可得

$10^{0.2514} = 1.7840$

所以用对数表计算可得

$x = 1784000$

，相比于直接计算

$567.89×3141.59 = 1784077.5451$

，误差约为 0.004%。

更一般地，对两个任意大数乘积

$x_1 x_2$

，令

$x_1 = a_1 * 10^{n_1}, x_2 = a_2 * 10^{n_2}, 1\leq a_1, a_2 \leq 10$

，有

$\log(x_1 x_2) = \log(10^{n_1}a_1 \times 10^{n_2}a_2 ) =n_1+ n_2 + \log(a_1) + \log(a_2)$

将

$a_1,a_2$

的值四舍五入到最近的四位小数，查对数表

$\log(a_1),\log(a_2)$

可得

$\log(x_1x_2)$

，两边取指数有

$x_1x_2 = 10^{n_1+n_2+ \log(a_1) + log(a_2)}$

，将指数部分拆分为整数和

$[0,1)$

的小数部分，再使用反查表求小数部分的指数函数值，即可得到

$x_1x_2$

的值。

整个计算过程中，我们只查两次对数表，进行一次加法运算，再反查一次对数表，就能得到两个大数乘积的值，这就可以大幅度简化大数的乘除法运算，提高运算速度。

再来个天文学领域计算的例子，有人说上面的例子太简单（XD），那我们这次用真的数据：

假设地球以圆形轨道绕太阳运动，根据以下已知数据，计算太阳的质量：

地球与太阳的平均距离 $R = 1.496 \times 10^{11} m$
地球公转周期 $T = 3.156 \times 10^7 s$
万有引力常数 $G = 6.672 \times 10^{-11} m^3/(s^2 \cdot kg)$

根据万有引力定律和牛顿运动定律可知：

$M = \frac{4\pi^2R^3}{GT^2}$

不用计算器，使用对数表只要做加法、减法和简单的乘法就能求出这个表达式，所有的对数值都可以由查表得到。当时的天文学家是这样计算的：

$\begin {array} {r@{{}={}}r} {{}{}} \ & & \log(2\pi) &=& 0.7982 \\ & \log(4\pi^2) &=2\log(2\pi) & = & 1.5964 \\ \\ & & \log(G) &= & - 11 + 0.8242 & \\ & & \log(T) &= & 7 + 0.4991 & \\ &+ & \log(T) &= & 7 + 0.4991 & \\ \hline & & \log(GT^2)& = & 4.8224 \\ \\ \\ & & \log(R)& = & 11 + 0.1750 \\ &\times & & & 3 & \\ \hline & & \log(R^3) & = & 33.5250 & \\ & + &\log(4\pi^2) & = & 1.5964 \\ &- & \log(GT^2) & = & 4.8224 & \\ \hline & & \log(M) & = &30.2990 & \\ \\ & & M & = & 10^{0.2990} \times 10 ^ {30} \\ & & & = & 1.991 \times 10^{30} \\ \end {array}$

如果按照传统方法计算，需要 7 个大数乘法竖式和 1 个除法竖式。这种算法只要一个「对数竖式」，就能取代所有的大数乘法和除法，通过简单的加减大幅度简化了运算过程。

计算所得结果为：太阳质量是

$1.991 \times 10^{30} kg$

。查有关资料可知，准确值为

$(1.98855 \pm 0.00025) \times 10^{30} kg$

，所以上述计算的相对误差为

$0.09\%$

。

由此看出，通过对数表进行大数计算，得到的是有误差的数，不是真值，除非是那种数零就可以计算的大数。但对于许多工程计算、甚至科学计算来说，这种精度已经足够。

发明对数计算，都是因为没有计算器可用给逼出来的。

17 世纪初，在工程实践、天文观察等行业和科学研究领域中，人们开始遇到越来越多的大数字，这些大数字还需要通过复杂的乘除运算才能拿来用，所以迫切的需要一种提高计算效率的方法，于是对数和对数表就这样应时而生了。通过上面的对数公式，很容易地就把乘除法转换成了加减法，从此就不用列乘法竖式和除法竖式了。

对数有独一无二的功能：化乘除为加减，化乘方开方为乘除，将高级运算降为次级运算。当时有一种说法：对数的发明让天文学家的寿命增加了一倍。

第一张对数表是瑞士工程师比尔吉(Jost Bürgi, 1552-1632)制作的，他曾经担任过著名天文学家开普勒的助手，这一工作干的主要任务就是计算天体运行的数值，大概实在是算得头晕眼花了吧，比尔吉产生了化简数值计算的想法，搞出了他自己用的对数和对数表。在完全独立的情况下，苏格兰数学家约翰·纳皮尔男爵（John Napier）发明了现在大家用的对数规则。如今一般都承认他们两人都是对数先驱。