除了黎曼猜想，数学界还有哪些至今尚未得到证实的猜想？

知乎精选 2023-12-30 01:00:05

PENG Bo，禀临科技 withablink.com 联合创始人

高斯圆问题，又叫圆内整点问题。很容易懂，很难证明。我在之前的这篇里面也写过：

而且它有个优点，它有一个数字可以让你不断改进，所以能改进一点也是贡献。

首先，我们在格点纸上画个半径为 r 的圆，里面当然大致就有

$\pi r^2$

个格点。

令 N(r) 为实际的格点数。那么所谓误差项 E(r) 是这样定义的：

现在的关键是，能否对这里的误差 E(r) 有更精确的估计？高斯证明了：

这是因为，大致来说，误差肯定小于圆的周长（这是很漂亮的几何观点，其实 class number formula 就是这样来的），大家可以自己试试证明这个。

但是，圆很规则，所以，实际上误差更小，目前大家猜是：

用模形式的方法（Voronoi summation），可以证明

$O(r^{2/3})$

的情况，现在最好的结果可以证明到

$O(r^{131/208})$

。

而 131/208=0.6298...，所以离 0.5+epsilon 还很远，一百年的时间只前进了 0.05。如果你能改进这个数字，就可以发论文。

高斯圆问题，看上去很人畜无害，但是非常难。如果你能证明 0.5+epsilon，你的方法肯定可以用于数论中的许许多多其它领域。

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