高中数学学那么多三角函数公式到底有什么用？

吾欲揽六龙，我们是孩子,但我们精力充沛,勇往直前✰

引言

什么积化和差、和差化积、倍角公式、半角公式，无非是些代数变换和奇技淫巧，花那么多时间做些练习的意义何在？省出时间直接学高等数学这样有思想的东西不好吗？

实际上很多数学知识用很低的观点去看就变成了非常无聊的奇迹淫巧，这大概也是那本《线性代数应该这样学》的写作动机。

三角函数天生就是和复数一体的东西，然而遗憾的是，高中教科书在这两者之间强凿疆界，人为的割裂了两者之间的联系，导致高中教科书把这两部分内容都讲的人不人鬼不鬼的，用奇技淫巧给数学浓妆艳抹，戴上杀马特团长的头套，化妆化的人不人鬼不鬼的，反而让数学丧失了原本清丽动人的样子。本文的目的是在高中课本，别让我看见你，看见你头套必须给你拽掉，必须打你脸。

本文基于高中知识，首先利用复数给所谓奇变偶不变，符号看象限一个好的解释。

（乘

$i$

逆时针旋转

$\frac{\pi}{2}$

)

紧接着，利用利用高中学习的微积分知识结合这一性质导出数学中最美的公式之一，欧拉公式。

再利用欧拉公式优雅的给出两角和差公式。

剩下的内容为拓展内容

发现评论区有人不知道复平面是什么...离谱，高中教科书不会把这玩意都删除了吧？

我把这部分内容补充于附录部分了

另外今天下楼拿外卖的时候突然想起来高中不等式讲的也很烂，但不等式也跟三角函数复数相关联

于是又写了篇文章，这篇文章只需要高中知识就行，需要的额外的内容我在文章里补足了

不等式与三角函数，复数，三角函数，向量空间（高中知识） - 吾欲揽六龙的文章 - 知乎

不等式与三角，复数，向量空间，数论（高中知识,但是大学生也可以看）

事实上我对下面的一小部分做出了更好的优化。

利用复数和几何对诱导公式，正弦余弦求导以及欧拉公式推导的优化（这三者明明是一个整体嘛）

三角函数与复数

奇变偶不变，符号看象限是个非常麻烦而且容易错的口号，我们把它丢在一旁，用一种新的眼光看待诱导公式，以及提供复数的一个小小的妙用。

我们知道高中三角函数是用单位圆定义的，单位圆坐标

$(x,y)=(\cos \theta,\sin \theta)$

不妨把它用复数表示为

$\cos x+i\sin x$

我们注意到对于一个复数

$x+iy$

给它乘以

$i$

会得到

$i(x+iy)=ix+(-y)$

对于实数

$x$

，它被逆时针旋转了

$\frac{\pi}{2}$

到了虚轴，

对于虚数

$iy$

，它也被逆时针旋转了

$\frac{\pi}{2}$

到了实轴

于是对于

$x+iy$

，

用

$i$

作用在它身上就是逆时针旋转

$\frac{\pi}{2}$

你不妨验证一下这跟所谓的诱导公式是一致的。

$\cos (x+\frac{\pi}{2})+i\sin( x+\frac{\pi}{2})=-\sin x+i\cos x=i^2\sin x+i\cos x=i(\cos x+i\sin x)$

即

$\cos (x+\frac{\pi}{2})=-\sin x\\$

$i\sin( x+\frac{\pi}{2})=i\cos x\\$

接下来要计算旋转

$\pi,\frac{3\pi}{2}$

就乘

$i^2，i^3$

即可

比如要算

$\cos(x+\pi)，\sin (x+\pi)$

，乘以

$i^2$

变为

$-\cos x+i(-\sin x)$

于是

$\cos(x+\pi)=-\cos x,\sin (x+\pi)=-\sin x$

算

$\cos (x+\frac{3\pi}{2}),\sin (x+\frac{3\pi}{2})$

,就

$i^3(\cos x+i\sin x)=\sin x+i(-\cos x)$

于是

$\cos (x+\frac{3\pi}{2})=\sin x$

$\sin (x+\frac{3\pi}{2})=-\cos x$

欧拉公式与上帝公式

我们注意到了给

$\cos x+i\sin x$

乘以

$i$

表现为逆时针旋转

$\frac{\pi}{2}$

，

我们还可以注意到

$\frac{d}{dx}\cos x=\cos(x+\frac{\pi}{2})=-\sin x$

$\frac{d}{dx}\sin x=\sin (x+\frac{\pi}{2})=\cos x$

即

$\frac{d}{dx}(\cos x+i\sin x)=i(\cos x+i\sin x)$

不妨令

$(\cos x+i\sin x)=y$

于是有

$\frac{dy}{dx}=iy$

即

$\frac{1}{y}dy=idx$

两边同求不定积分得

$\ln y+C=ix$

代入

$x=0，y=1$

得

$C=0$

两边同取

$e$

为底得

$y=e^{ix}$

即

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

代入

$x=\pi$

得

$e^{i\pi}+1=0\\$

请读者在此驻足一小会儿，感受这个等式的优美和伟大

这个等式又被称作上帝公式

原因是因为欧拉在俄国与某无神论者辩论的时候曾说过这样一句话

因为

$e^{i\pi}+1=0\\$

所以上帝存在。

因为这样的等式简直是不可思议，对于欧拉来说，若非是因为上帝存在，否则无法解释

$e^{i\pi}+1=0\\$

这也是我用高中数学推出的最美的式子

是我后来投身于数学专业的理由之一

野有蔓草，零露漙兮。
有美一人，清扬婉兮。
邂逅相遇，适我愿兮。

欧拉公式 - 复数与伸缩旋转变换

我们知道复数可以表示为

$a+bi$

，我们考虑极坐标表示，

$a+bi\rightarrow r\cos x+ri\sin x$

由欧拉公式，

$r\cos x+ri\sin x\rightarrow re^{ix}$

于是我们得到了复数乘法的意义

$\mathbb C\times \mathbb C\rightarrow \mathbb C$

$r_1e^{ix}\cdot r_2e^{iy}=r_1r_2e^{i(x+y)}$

两个复数相乘，模长相乘，辐角相加。

实际上你可以把

$re^{i\theta}$

看做一个函数，任意一个复数与它相乘模长被它拉长

$r$

倍，再被它逆时针旋转

$\theta$

度。

两角和差公式

由欧拉公式，我们可以很方便的推出两角和差公式

由等式

$e^{i(x+y)}=e^{ix}e^{iy}$

$\Rightarrow\cos(x+y)+i\sin(x+y)=(\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)$

于是根据实部等于实部，虚部等于虚部，我们有

$\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\sin(x+y)= \cos x\sin y+\sin x\cos y$

出租车度量与欧几里得度量的联系—复数的欧拉—三角表示

一个有趣的度量是出租车度量

$d_{\rm Taxi}$

假设我们有一个方格图，这个方格图是某个城市街区的缩影。

我们知道很多城市的一个局部方方正正的，马路围着高楼把城市围城方方正正的样子

有时候我们出行需要打的，理论上来说两点之间线段最短，但绝大多数时候我们没法走直线

所以我们想定义一辆出租车从

$a\rightarrow b$

走过的距离要怎么定义呢？

定义成从

$a\rightarrow b$

沿着方格需要走的最短距离就好了。容易验证这是一个度量。

出租车度量与欧几里得度量有什么联系呢？

想象你站在一个方格坐标系上，比如

$\mathbb{N}\times\mathbb{N}$

(可以理解为平面直角坐标系上的自然数点）

当你从

$(0,0)$

出发到

$(a,b)$

的时候，实际上最短路径有很多条，我们只走这条路

$(0,0)\rightarrow(a,0)\rightarrow(b,0)$

,如果考虑复数，这条路径无非就是

$a+bi$

我们知道

$d_{\rm Taxi}((0,0),(a,b))$

$=$

$a+b$

,就是这个复数的实部加虚部！

有趣吧，

$a+bi$

表示路径，

$a+b$

表示距离，这同样是复数的优美的体现

我们考虑

$(a,b)$

的三角表示

$r(\cos\theta,\sin \theta)$

$a+bi\rightarrow re^{i\theta}$

我们知道这时候在欧几里德度量下

$d(0,re^{i\theta})=r$

出租车度量下

$d_{\rm Taxi}=r(\cos\theta+\sin\theta)$

我们可以看出来，复数的三角—欧拉表示同时给出了出租车度量的路径，欧几里得度量，出租车度量。

多倍角公式与二项式定理

$e^{in\theta}=({e^{i\theta}})^n$

于是

$\cos nx+i\sin nx=(\cos x+i\sin x)^n$

根据实部等于实部，虚部等于虚部结合二项式定理（判断哪些项是实数，哪些项是虚数）

我们可以得到

$\cos nx,\sin nx$

的表达式

当然还有另一种思路，

$\cos nx$

是偶函数，

$\sin nx$

是奇函数

对于乘法，奇函数乘奇函数得偶函数，偶函数乘偶函数仍是偶函数。

对于加法，奇函数加奇函数是奇函数，偶函数加偶函数是偶函数

一个很有意思的点（需要学习抽象代数）

奇函数偶函数对于乘法构成的群同构于

$( \mathbb{Z/2 Z,+)}$

高中阶段可能有一种问题是

$\cos x+\cos 2x+\cos 3x+…+\cos nx$

我们注意到这个就是

$e^{ix}+e^{i2x}+e^{i3x}+...+e^{inx}$

的实部

而

$\cos nx=\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}$

根据

$e^{in x}=(e^{ix})^n$

我们可以将

$e^{ix}+e^{i2x}+e^{i3x}+...+e^{inx}$

写成

$1+x+x^2+...+x^n$

的形式

记

$S_n=1+x+x^2+...+x^n$

两边同乘

$(1-x)$

得

$(1-x)S_n=1-x^{n+1}\Rightarrow S_n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$

我们可以很方便的求出答案。

间奏，余弦，其实你每天都在和它打交道。算法推荐机制与有限维线性空间，内积，余弦

大家如果刷知乎或者随便一个什么软件，会发现它有一种推荐机制来猜测你最感兴趣的内容是什么

当你使用搜索引擎的时候，搜出来的东西还会连带着一堆相关的东西。

问题来了，软件是如何判断哪些信息是相关的呢？

中文的有些复杂，不过原理应该是类似的，这里以英文举例，因为英语比较简单。

我们知道一般来说要看懂绝大多数英语世界的资料需要一定的词汇量，假设这个数量是三万吧。

我们把这三万个词按照字典顺序排列（你随便拿本词典它排列单词的那个顺序）

我们把它写成一个长度为三万的有序对

比如 3500 是从 abandon 开始的，那就

$\rm(abandon...$

当然这个长度为三万的有序对肯定是从

$a$

开始的

$\rm (a,aback,abase,abash,abate,abbey,abet,abhor,abide,able,about...)$

如果一篇文章出现了

$a$

3 次，

$\rm aback$

0 次，

$\rm abase$

5 次...

我们就把这篇文章记作

$\mathbb{R^{30000}}$

中的向量

$(3,0,5...)$

容易知道这里的所有向量的坐标

$x_i\geq0$

而且词频相同的文章被记作了相同的向量。

那么，如何衡量两篇文章的相关程度呢？或者说，如何衡量两个向量的线性相关程度呢？

我们利用余弦即可。我们知道

$x\cdot y=||x||\cdot||y||\cos\theta\Rightarrow\cos\theta=\frac{x\cdot y}{||x||\cdot||y||}$

由于所有

$x_i\geq0$

，所以

$\cos\theta\in[0,1]$

$\cos\theta=0$

的时候两篇文章正交，

由于所有

$x_i\geq0$

,所有说明这两篇文章完全没有相同的词语。

$\cos \theta=1$

的时候两篇文章词频一致。

这里也给出了内积空间中，

$\cos \theta$

的意义，两个向量线性相关的程度。

复数在平面几何的应用

我后来看《复分析可视化方法》的时候发现复数可以非常优雅的解决平面几何的问题，如图

复数作为三角形相似变换群

我们已经知晓复数是伸缩旋转变换了，我们知道，给定一个三角形

$\Delta$

（或者什么欧氏平面图形）

经过伸缩旋转变换后它仍然和自身相似。

大家应该对这种所谓变换后保持某种意义下的不变不陌生。

例如奇函数和偶函数，分别在旋转 180°后和镜像对称后和自身重合。

一个全等三角形，它在顺逆时针旋转 120°，240°，360°后仍然和自身重合。

一个正方形，在旋转 90°，180°，270°，360°后仍然和自身重合。

一个正 n 边形，在旋转

$k\frac{360°}{n}(k=1,2,3...n-1,n)$

后仍然和自身重合。

一个圆，无论怎么转都和自身重合...

我们管这种性质叫做对称性。

一般意义下的对称是什么呢？

我们定义对称为具有经过某种变换后仍然保持某种不变的对象所具有的性质。

这里有两个重要的问题，

什么叫不变？（变化后和变化前等价）

这些变化有什么性质？

进而我们会导出一个优美的概念,

群（

$Group$

），群是描述对称的。

为了回答第一个问题，自然而然的牵扯到了数学中的一个重要概念，集合上的等价关系。

我们要用这个概念去刻画什么叫保持不变。

关系是集合

$S$

与自身的笛卡儿积

$S\times S$

的一个子集

常见的笛卡儿积是

$R\times R$

,表示全体有序实数对

$(x,y)$

,又记为

$R^2$

等价关系

$R$

满足如下性质

自反性：

$\forall$

$a\in S$

，满足

$(a,a)\Leftrightarrow a=a$

对称性:

$a,b\in S$

,如果

$(a,b)\Leftrightarrow a=b$

,那么

$(b,a)\Leftrightarrow b=a$

可传递：如果

$(a,b)\wedge(b,c)\rightarrow(a,c)\Leftrightarrow a=b\wedge b=c\rightarrow a=c$

容易验证三角形相似是一个等价关系

我们可以根据等价关系的公理导出群的公理

回顾我们对对称的刻画

我们还需要回答第二个问题，这些变换满足什么性质？（群的四条公理）

我们现在需要研究一下，这个所谓某种变换满足什么性质？

这个全体保持某个对象

$a$

不变的集合叫做群

群中元素之间有一种运算，我们叫做乘法，实际上就是映射的复合

我们看看这个集合中的元素满足什么性质

1.单位元

由自反性可以看出，对于任意一个对象

$a$

，都存在一个单位映射

$e$

使得它自身完全不变。

2.逆元

由对称性可以看出，假如存在一个映射

$T$

将

$a\rightarrow b$

，那就会存在一个

$T^{-1}$

将

$b\rightarrow a$

3.封闭性

可传递告诉我们，如果

$T_1(a)=b(a=b),T_2(b)=c(b=c),$

那么

$T_2\circ T_1(a)=c(a=c)$

因而两个群中元素复合后仍然在群里。

4.结合律

映射的复合运算自带结合律

我们注意到复数除去

$0$

对乘法运算构成一个群

由复数的意义为伸缩旋转变换容易知道，这是保持三角形相似的群

而

$e^{i\theta}$

是保持平面上三角形全等的群。

注意这个相似只是在二维平面上的相似，我们希望从一个相似到另一个相似的过程中三角形不会破碎。

因此不包含镜像对称（因为这需要在三维空间中给三角形翻个面）

我们也可以从这里理解为什么复变函数

$f(z)=$

$\bar{z}$

复不可微

取共轭的时候是镜像对称了的，这个过程中不能保证三角形的刚性。

当然这玩意一眼不可微

毕竟它是

$\left [ \begin{matrix} 1& 0\\ 0& -1\\ \end{matrix} \right ]$

，一眼就不是复数的矩阵表示。

复数的矩阵表示 -- 如何优雅的推出柯西黎曼条件？（警告，需要线性代数知识和多元微积分）

由欧拉公式我们知道复数实际上就是伸缩旋转变换，很容易知道这就是线性变换。

既然是线性变换，就可以表示成矩阵

我们先来看看如何把复数表示成矩阵

我们先从线性映射在给定基下的表示说起

对于线性映射

$T：V\rightarrow W$

如何给出

$T$

的矩阵

$M(T)$

？

考虑

$V$

的一组基

$\{v_1,v_2...v_n\}$

和

$W$

的一组基

$\{w_1,w_2...w_m\}$

由线性映射的性质可以得到

$T(v)=T(c_1v_1+...+c_nv_n)=c_1T(v_1)+...+c_nT(v_n)$

我们初步得到了

$M(T)$

$[T(v_1)\quad T(v_2)\quad ...\quad T(v_n)]$

（对于复数的矩阵表示，了解到这一行就足够了）

不过仍然有两个问题
任给一个向量 $v\in V$ ，它在 $\{v_1,v_2...v_n\}$ 这组基下的坐标表示是什么？
换句话说，我怎么知道 $v=c_1v_1+c_2v_2...+c_nv_n$ 的坐标 $(c_1,c_2,...c_n)^T$
以及任给一个向量 $T(v)\in W$ ,它在 $\{w_1,w_2...w_m\}$ 这组基下的坐标表示是什么？
换句话说，怎样把它写成我们通常所见到的，数组 / 坐标的形式？
为了给出这个问题的答案，我们需要给出 $V$ ， $W$ 的对偶空间 $V^*,W^*$ ,
给出 $\{v_1,v_2...v_n\}$ ， $\{w_1,w_2...w_m\}$ 的对偶基 $\{v^1,v^2...v^n\}$ , $\{w^1,w^2...w^m\}$
我们知道 $<v_i,v^i>=1$ , $<v_i,v^j>=0$
所以 $v$ 在 $v_i$ 处的坐标 $c_i$ $<v,v^i>=c_1<v_1,v^i>+c_2<v_2,v^i>...c_n<v_n,v^i>=c_i$
同理，我们只需要利用 $w^i$ 依次作用在 $T(v_j)$ 上，我们就能得到 $T(v_j)$ 在基下的坐标表示。一个矩阵的元素 $a_{ij}=<w^i,T(v_j)>$

很容易知道对于一个复数

$re^{i\theta}$

，

它把自然基

$(1,0)$

映射为

$r(\cos\theta,\sin\theta)$

，

$(0,1)$

映射为

$r(\cos(\theta+\frac{\pi}{2}),\sin(\theta+\frac{\pi}{2}))$

$\left [ \begin{matrix} r\cos\theta& -r\sin\theta \\ r\sin\theta &r\cos\theta \\ \end{matrix} \right ]$

嗯，是不是很熟悉，不看

$r$

的话就是旋转矩阵嘛，对，旋转矩阵就是单位复数的矩阵表示

单位复数的欧拉表示为

$e^{i\theta}$

，三角表示为

$\cos \theta+i\sin\theta$

现在我们来推导柯西 - 黎曼条件

考虑对一个复变函数

$u+iv$

求微分

$\lim_{\Delta z\rightarrow 0}{\frac{u(x+\Delta x,y+\Delta y)+iv(x+\Delta x,y+\Delta y)}{\Delta x+i\Delta y}}$

复平面是个闭集，也就是说对取极限封闭

复数是个域，所以对加法和乘法封闭

算导数的时候，用到的是减法和除法，极限

假如这个导数存在，那么一定是个复数

写出导数(雅可比矩阵）

考虑复数的矩阵表示，

柯西黎曼条件是自然而然的。

用这种视角去证明极坐标下的柯西黎曼条件会更自然

$f\circ\tau$

，其中

$\tau:\\ x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta$

微分后由链式法则得（矩阵的乘法表示线性映射的复合）

$\left [ \begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial r}& \frac{\partial u}{\partial \theta} \\ \frac{\partial v}{\partial r}& \frac{\partial v}{\partial\theta} \\ \end{matrix} \right ] \ =\,\left [ \begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y} \\ \end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial\theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta}\\ \end{matrix} \right ]$

其中

$\left [ \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial\theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta}\\ \end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} \cos\theta& -r\sin\theta\\ \sin\theta& r\cos\theta \\ \end{matrix} \right ]$

很显然给矩阵

$\left [ \begin{matrix} \cos\theta& -r\sin\theta\\ \sin\theta& r\cos\theta \\ \end{matrix} \right ]$

第二列乘以

$\frac{1}{r}$

会得到一个单位复数

$e^{i\theta}$

的矩阵表示。

由复数乘法的封闭性可知结果仍然是个复数

所以

$\left [ \begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial r}& \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \\ \frac{\partial v}{\partial r}& \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta} \\ \end{matrix} \right ] \$

是个复数。

于是有

$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac {1}{r}\frac{\partial v}{\partial\theta}$

$\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac {1}{r}\frac{\partial u}{\partial\theta}$

柯西黎曼条件的本质以及几何意义是什么？

我们从柯西 - 黎曼条件的这个版本可以看到，复可微的这个切映射要么是满秩的，要么就是

$0$

矩阵

于是类似于这种

$f(z)=|z|$

的函数一眼不可微。

拓展阅读泰勒公式

拓展的目的是给出指数函数

$\exp(x)$

$=1+x+\frac{x^2}{ 2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}...$

如何用对偶基得到泰勒公式？

总的来说，我们将会视实解析函数空间为一个线性空间

请读者自行验证线性空间的八条公理成立

多项式

$1,x,{x^2}...{x^n}...$

为实解析空间的一组基。

微分算子

${\frac{d}{dx}}^0,{\frac{d}{dx}},{\frac{1}{2!}\frac{d}{dx}}^2...{\frac{1}{n!}\frac{d}{dx}}^n...$

为多项式

$1,x,{x^2}...{x^n}...$

的对偶基。

由于多项式

$1,x,{x^2}...{x^n}...$

为实解析空间的一组基，于是任意的实解析函数

$f$

都可以表示成

$f=c_0+c_1x+c_2x^2+...c_nx^n+...$

再利用对偶基的坐标函数性质得到这组坐标

$c_1,c_2...c_n...$

如果你不知道什么是对偶基，或者不知道为什么它是坐标函数，那么请看下文。

对偶基是什么？

对偶基是一组线性泛函，泛函的意思是把一个向量映射为一个数值。而线性指这个泛函满足

$T(u+v)=T(u)+T(v)\\T(\lambda{v})=\lambda{T(v)}$

如果我们有一组基

${e_1,e_2,e_3...e_n}$

，那么这组基的对偶基记作

$e^1,e^2,e^3...e^n$

，定义为

$<e^i,e_i>=1\\<e^i,e_j>=0$

如果你学过线性代数，你应该立马可以意识到矩阵求逆的过程就是在求对偶基！

还记得如何用余因子展开得到逆矩阵吗？不失一般性，考虑一个三阶方阵 A。

很容易注意到对某一行展开后得到

$a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3}=DetA$

接下来我们用第 j 行去替换第 i 行，由行列式的性质可以知道替换过后行列式为 0，即

$a_{j1}A_{i1}+a_{j2}A_{i2}+a_{j3}A_{i3}=0\\ 记(a_{i1},a_{i2}.a_{i3})为a_i，\frac{1}{DetA}(A_{i1},A_{i2}.A_{i3})为A_i$

那么

$<a_i，A_i>=1,<a_i,A_j>=0$

结合逆矩阵公式我们很容易注意到一组基如果按照列来排列，那么它的对偶基为逆矩阵的对应的行。

我们知道逆矩阵常用于坐标变换，具体的说，给定一个向量和一组基，我们想得到这个向量在这组基下的表示，就把这组基按列排成矩阵，然后对向量作用这个矩阵的逆来得到这个向量在这组基下的坐标。

事实上，这是对偶基的性质决定的，因为一组基的对偶基这样定义它的目的就是为了得到坐标函数。

我们考虑一个线性空间

$V$

,它的一组基为

$v_1,v_2,v_3...v_n$

这组基的对偶基为

$v^1,v^2,v^3...v^n$

$V$

中任意一个向量 v 都可以表为

$c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3+...c_nv_n$

但是我们要如何求得坐标

$c_i$

呢？我们只需要用对偶基作用在

$v$

上即可。

$v^i*v=v^i*(c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3+...c_nv_n)$

由线性以及对偶基的性质可得

$v^i*v=v^i*c_iv_i=c_iv^i*v_i=c_i$

我们视实解析函数空间为一个线性空间(请读者自行验证线性空间的八条公理成立)

多项式

$1,x,{x^2}...{x^n}...$

为该空间的一组基

${\frac{d}{dx}}^0,{\frac{d}{dx}},{\frac{1}{2!}\frac{d}{dx}}^2...{\frac{1}{n!}\frac{d}{dx}}^n...$

为这组基的对偶基。

请读者自行验证其为对偶基，注意到这里是在 0 处求导。

对于

$1,(x-a),(x-a)^2,...(x-a)^n$

这组基，则对偶基为在

$a$

处求导。

由于多项式

$1,x,{x^2}...{x^n}...$

为该空间的一组基，于是任意的实解析都可以表示成

$f=c_0+c_1x+c_2x^2+...c_nx^n+...$

将微分算子依次作用在

$f$

上，得到

$f=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)x^2}{2!}+...\frac{f^{(n)}(0)}{n!}...$

还有一种方式的证明是直接利用分部积分得到的。这种方式的 Preliminary 较少，只需要用高中数学推出分部积分即可。

Taylor 公式证明是怎么想出来的？

至于为什么这个东西叫对偶基，是因为它是对偶空间的基。

我们给定一个定义在数域

$\mathbb{F}$

上的线性空间

$V$

,那么

$V$

的对偶空间

$V^*$

为

$Hom(V,\mathbb{F})$

,也就是

$V$

上的全体线性泛函。

我们可以证明

$dimV=dimV^*$

这是显然的。

事实上我们有更一般的结论

$dim\;Hom(V,W)=dimV\;dimW$

接下来我们证明对偶基是对偶空间的基。只需证明对偶基线性无关。

$Let$

$0=a_1e^1+a_2e^2+...a_ne^n$

$e_i*v^*=a_i=0$

于是

$e^1,e^2,...e^n$

线性无关。于是对偶基是对偶空间的基。

如何通俗地解释泰勒公式？

有了这个其实我们才能定义

$\exp x$

进而定义

$e^{ix}$

附录复平面

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