1 甜在心馒头店
公司楼下有家馒头店：
每天早上六点到十点营业，生意挺好，就是发愁一个事情，应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应？
老板统计了一周每日卖出的馒头（为了方便计算和讲解，缩小了数据）：
均值为：
按道理讲均值是不错的选择（参见“如何理解最小二乘法？”），但是如果每天准备 5 个馒头的话，从统计表来看，至少有两天不够卖，
的时间不够卖：
你“甜在心馒头店”又不是小米，搞什么饥饿营销啊？老板当然也知道这一点，就拿起纸笔来开始思考。
2 老板的思考
老板尝试把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用
来表示：
然后把
的三个馒头（“甜在心馒头”，有褶子的馒头）按照销售时间放在线段上：
把
均分为四个时间段：
此时，在每一个时间段上，要不卖出了（一个）馒头，要不没有卖出：
在每个时间段，就有点像抛硬币，要不是正面（卖出），要不是反面（没有卖出）：
内卖出 3 个馒头的概率，就和抛了 4 次硬币（4 个时间段），其中 3 次正面（卖出 3 个）的概率一样了。
这样的概率通过二项分布来计算就是：
但是，如果把
的七个馒头放在线段上，分成四段就不够了：
从图中看，每个时间段，有卖出 3 个的，有卖出 2 个的，有卖出 1 个的，就不再是单纯的“卖出、没卖出”了。不能套用二项分布了。
解决这个问题也很简单，把
分为 20 个时间段，那么每个时间段就又变为了抛硬币：
这样，
内卖出 7 个馒头的概率就是（相当于抛了 20 次硬币，出现 7 次正面）：
为了保证在一个时间段内只会发生“卖出、没卖出”，干脆把时间切成
份：
越细越好，用极限来表示：
更抽象一点，
时刻内卖出
个馒头的概率为：
3
的计算
“那么”，老板用笔敲了敲桌子，“只剩下一个问题，概率
怎么求？”
在上面的假设下，问题已经被转为了二项分布。二项分布的期望为：
那么：
4 泊松分布
有了
了之后，就有：
我们来算一下这个极限：
其中：
所以：
上面就是泊松分布的概率密度函数，也就是说，在
时间内卖出
个馒头的概率为：
一般来说，我们会换一个符号，让
，所以：
这就是教科书中的泊松分布的概率密度函数。
5 馒头店的问题的解决
老板依然蹙眉，不知道
啊？
没关系，刚才不是计算了样本均值：
可以用它来近似：
于是：
画出概率密度函数的曲线就是：
可以看到，如果每天准备 8 个馒头的话，那么足够卖的概率就是把前 8 个的概率加起来：
这样
的情况够用，偶尔卖缺货也有助于品牌形象。
老板算出一脑门的汗，“那就这么定了！”
6 二项分布与泊松分布
鉴于二项分布与泊松分布的关系，可以很自然的得到一个推论，当二项分布的
很小的时候，两者比较接近：
7 总结
这个故事告诉我们，要努力学习啊，要不以后馒头都没得卖。
生活中还有很多泊松分布。比如物理中的半衰期，我们只知道物质衰变一半的时间期望是多少，但是因为不确定性原理，我们没有办法知道具体哪个原子会在什么时候衰变？所以可以用泊松分布来计算。
还有比如交通规划等等问题。
这篇文章可以继续扩充：如何理解指数分布？
文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何理解泊松分布？
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