一个正方形，有旋转 90 度的倍数的对称性和沿 4 条不同的反射轴反射的对称性，数学家把这种对称性抽象出来，构建了一种抽象的数学结构，叫做 群。正方形对应的即是 8 阶的二面体群。

不同的群之间有所谓的群同态（你可以理解成一种保持结构的映射），把所有的群放在一起，连同他们之间所有可能的同态，构成了一个新的结构，叫做 范畴。

群本身是一种抽象的数学结构，但数学家们却开始研究“结构的结构”，他们把一类数学结构本身作为对象，来研究这些对象构成的新的结构。这种思路也是一种非常有趣的思路，就是以抽象的事物为基石，去构造“抽象之上的更抽象”。我认为是数学、理论计算机科学、逻辑学、分析哲学独有的一种抽象思维。

范畴和范畴之间又可以定义函子，函子和函子之间可以定义自然变换，关于函子、自然变换，有一个非常有名的定理，又被认为是范畴论中第一个有实质内容的定理，即所谓的 Yoneda lemma。具体定理内容就不赘述了。

范畴是 20 世纪上半叶搞出的结构，来源于代数拓扑和同调代数；新世纪的数学，又有所谓的“无穷范畴”——比普通的范畴论在复杂度抽象性方面又高了好几个层次；限于水平，我就不胡说八道误导大家了。这个只有专门做 higher algebra 这一块的人可以讲清楚。但可以肯定，只有熟悉范畴论基础知识的人，才能继续学习无穷范畴。

其实也不一定非得在代数学的领域才能出现这种抽象结构。即使在微分几何这种相对具体的领域，我也可以考虑两个流形之间的光滑映射全体，这也是一个新的流形，当然是无穷维的。但是我考虑他的一个子集，比如紧黎曼流形的等距映射全体，这就成了一个紧流形、紧李群。对学数学的人来说，引进这样的事物是非常自然的事情。但是对学自然科学或者实验学科的人来说，这种思维其实已经比较抽象。比如我有学物理的同学，他可以理解 SO(3)是 3 阶正交矩阵全体，但是他很难把 SO(3)当成一个抽象的群来考虑，他永远需要通过具体矩阵元的方式来理解矩阵群，而不是通过群运算群结构本身来认识一个抽象的群。大部分普通人还是需要经过系统的训练才能慢慢培养抽象的数学思维的。所以非科班的数学爱好者也不必操之过急，不要一开始就来刚 无穷范畴，先从“本科级别的抽象”来慢慢做起。