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高维空间作为几何对象是很难理解的，作为代数对象却很容易理解。

根据我们日常对一维（线）、二维（面）、三维（体）空间的印象，一个空间有几维，就是在这个空间中能够做几条互相垂直的直线，或者说有几个互相垂直的方向。你面前一条左右伸展的直线上，只有左右方向。你面前一张铺开的白纸上，有左右方向加上下方向。你面前的整个空间中，有左右方向、上下方向和前后方向。

以此类推，四维空间就是在左右、上下和前后之外，还有一个与它们垂直的方向的空间。这个定义一目了然，人脑却难以想象出来（不排除有些数学家经过特殊训练有可能想象出来），因为我们日常见到的空间是三维空间，不存在这第四个方向。四维都想象不出来，更高维度就更不用说了。所以说，高维空间作为几何对象是很难理解的。

从代数的观点看，n 维的空间就是所有的满足以下性质的矢量的集合：（1）有 n 个互相垂直的基础矢量属于此集合，垂直的定义是纯粹代数的，即两个矢量的“内积”等于 0；（2）此集合中任何一个矢量都等于这 n 个基础矢量乘以某些常数后相加（即这些基础矢量的线性叠加），例如 2 乘以第一个基础矢量，加上 3 乘以第二个基础矢量，加上 0.5 乘以第三个基础矢量，加上 0 乘以后面的基础矢量。你如果能看懂，太好了。如果看不懂，没办法，只能说这是大学里线性代数的内容，等你学到线性代数就明白了。这个定义的妙处是完全不需要空间想象，无论多少维在数学表述上都是一样的。所以说，高维空间作为代数对象很容易理解。

两个矢量的内积

龚昇《线性代数五讲》

在以上定义中，如果一个 n 维空间的某个基础矢量变成 0，那么这个空间就降低了一维，成了 n-1 维空间。就像我们把一张纸看作二维的，其实纸毕竟也有厚度，只是我们关心的实际问题的尺度比纸的厚度大得多，所以近似地可以把厚度当成 0，纸就从三维物体变成了二维物体。物理学中提到高维空间坍缩成低维，是同样的意思，某些维度的尺度远远小于我们关心的尺度，于是把它们当作 0。