如何解一元三次方程？ - 趣闻

如何解一元三次方程？

知乎精选 2024-07-21 02:00:27

Reuental，让这恋曲有这种说法

历史上，最早尝试一元三次方程的根式解的，是一批意大利数学家.

意大利数学家Scipione del Ferro（1465 年——1526 年）首先得出不含二次项的一元三次方程求根公式.

之后，另一位意大利数学家Niccolò Fontana "Tartaglia"（1499 年或 1500 年——1557 年）独立得出一元三次方程求根公式.

意大利数学家Girolamo Cardano（1501 年——1576 年）拜访了 Tartaglia，并获得了包含一元三次方程求根公式的暗语般的藏头诗.

很快，Cardano 从藏头诗中悟出了求解一元三次方程的方法，所以现在这个方法经常被称为“Cardano 法”

再往后，Cardano 的学生Lodovico Ferrari（1522 年——1565 年）在一元三次方程的求根公式的基础之上，给出了一元四次方程的求根公式.

我就简单讲一下一元三次方程的 Cardano 法，这也是最一般最通用的解法：

首先，对于一般一元三次方程

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

……（1）

（

$a,b,c,d\in\mathbb{C}$

，

$a\ne0$

）

由代数学基本定理，它必然在复数域上有根，而且只有 3 个根（包括重根）

我们总可以将所有系数除以

$a$

，化成一个首一三次多项式

$x^{3}+\frac{b}{a}x^{2}+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$

即

$x^{3}+b'x^{2}+c'x+d'=0$

……（2）

（

$b',c',d'\in\mathbb{C}$

）

进一步，我们可以通过配方的办法，作代换

$z=x+\frac{b'}{3}$

，以消去原方程的二次项，将之化成如下形式：

$z^{3}+pz+q=0$

……（3）

（

$p,q\in\mathbb{C}$

）

然后，我们令

$z=u+v$

方程可以化为

$\left( u+v \right)^{3}+p\left( u+v \right)+q=0$

整理可得

$u^{3}+v^{3}+3uv\left( u+v \right)+p\left( u+v \right)+q=0$

也即

$\left( u+v \right)\left( 3uv+p \right)=-q-\left( u^{3}+v^{3} \right)$

……（4）

考虑方程组

$\begin{cases} 3uv+p=0\\u^{3}+v^{3}=-q \end{cases}$

……（5）

显然方程组（5）的解一定是不定方程（4）的一个解，而方程组（5）一定是有解的

$\left( u^{3}-v^{3} \right)^{2}= \left( u^{3}+v^{3} \right)^{2}-4u^{3}v^{3}$

可得

$\left( u^{3}-v^{3} \right)^{2}=q^{2}+\frac{4}{27}p^{3}$

所以

$u^{3}-v^{3}=\pm\sqrt{q^{2}+\frac{4}{27}p^{3}}$

可得

$u^{3}=-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}$

$v^{3}=-\frac{q}{2}\mp\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}$

不妨取

$u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}$

$v^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}$

这样

$u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

$v=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

而

$z=u+v$

就是一元三次方程（3）的一个根

这个

$\Delta=\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}$

叫做该一元三次方程的判别式

我们知道，

$\omega=e^{\frac{2\pi i}{3}}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$

，

$\omega^{2}=e^{\frac{4\pi i}{3}}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$

，

$\omega^{3}=1$

恰好是三次方程

$x^{3}=1$

的三个根

（实际上构成了一个三阶循环群）

我们很容易发现，如果

$u=u_{0}$

，

$v=v_{0}$

是方程组（5）的一组解

那么

$u=\omega u_{0}$

，

$v=\omega^{2} v_{0}$

和

$u=\omega^{2} u_{0}$

，

$v=\omega v_{0}$

同样是方程组（5）的解

这样，一元三次方程（3）的三个根分别为：

$z_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} +\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

$z_{2}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} +\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

$z_{3}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} +\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

至于更一般的一元三次方程（1）、（2）的根，你再换元换回来便是，当然表达式看起来就得更复杂了……

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