不积小量，何以求物理
作为学生，我想各位读者们应该在读书学习的时候多少经历过“原本嘈杂的教室突然变的鸦雀无声”的现象。对此已有相当多的答主做出了定性的解释:
1.嘈杂的人群说话的空隙偶然重叠会导致音量的突然下降
2.说话的人会为音量的减小感到警觉而放低说话的音量
基于这两点，我们可以为嘈杂的人群做一个简单的建模并数值模拟:
设人群共 N 人
其中
代表编号为 n 的人在 t 时刻发出的声响(类似于分贝,人在正常范围对"声响"的感知是线性的)，
则是其听到的声响。 在正常的嘈杂环境下二者的均值为 1。
的第二部分
代表了一小段时间(此处为 0.3s)内环境音量平均大小对其说话声音的影响，采用
而非正比的形式可以使得
与
稳定在不动点 1 附近，在正常情况下不过大或过小，而在发生突变至 0 后能自行脱离零点回复至 1。第三部分
描述了声音的变化对其影响，标红的 m、n 都是可调的参数，n 代表了引起人警觉的中心阈值，而 2/m 代表这一“警觉”过渡的“宽度”。当声音在半秒内的平均变化率
大于 -n+1/m 时不会造成任何影响，小于 -n+1/m 时人会略微放低声音，而小于 -n-1/m 则会使人彻底闭口不言。
决定了其听到声音的方式，且满足
，视情况可以是随距离衰减，或直接对所有
取平均。
表示他在 t 时刻发言的意愿，g(t)均值为 1，在 0 与 2 间过渡平滑的随机的跳动，此处我令
，其中 A,B…E 都是诸如
的无理数，而 X 则是对每个 n 都不同的随机数。
最末一项
是用来给
的取值兜底的，以免突变过于剧烈使得其直接严格跌落到 0，那就没得玩了，突变后音量还得升回来呢。然而这一项多少有点败笔的意思，总之它“唯像”式的保证了突变以及沉默后音量的回升。
此处我将环境定在一个四十人的教室，考虑到狭小的教室内声音几乎不会衰减，我设
。这一举动将极大的方便了我们的计算，因为我们可以直接将方程改写为
仅用到一个 F，而不是 40 个 F 和 f，这将在后面的数值模拟中帮助我们节省大量的算力。
下面就到了喜闻乐见的写程序(拉屎山)环节:
import math
import numpy as np
#迭代方程
def A(x,y):
k=math.log1p(x)/math.log(2)*0.5*(1+math.tanh(5*(y+1.5)))
return k
#随机函数
def a(t):
c=1+math.tanh(7*(math.sin((math.sqrt(3))*0.7*t)+math.sin((math.sqrt(5))*0.7*t)+0.332*math.sin((math.sqrt(16))*0.7*t)+math.sin((math.sqrt(14))*0.7*t)+1.02*math.sin((math.sqrt(2.5803)*0.7*t))))
return c
def b(t):
d=(a(t)+a(t+10)+a(t+20)+a(t+30)+a(t+40)+a(t+50)+a(t+60)+a(t+70)+a(t+80)+a(t+90))/10
return d
def g(t):
e=(b(t)+b(t+100)+b(t+200)+b(t+300))/4
return e
#时间步长
step=round(0.05,5)
#F 在 t 为 0 前取值的初始化
dict={}#迭代数据暂存
hhh=-1
while hhh<=0:
dict[hhh]=g(hhh)
hhh=round(hhh+step,5)
#记录突变时间
timelist=[]
count=0
realcount=0
#用于绘图记录数据
datadict={}#响度记录
gdata={}#发言意愿记录
#迭代循环
t=0
while t<=360000:
fl=(dict[round(t-0.05,5)]+dict[round(t-0.1,5)]+dict[round(t-0.15,5)]+dict[round(t-0.2,5)]+dict[round(t-0.25,5)]+dict[round(t-0.3,5)])/6
fv=(((dict[round(t-0.05,5)]+dict[round(t-0.1,5)]+dict[round(t-0.15,5)]+dict[round(t-0.2,5)]+dict[round(t-0.25,5)])/5)-((dict[round(t-0.55,5)]+ dict[round(t-0.6,5)]+dict[round(t-0.65,5)]+dict[round(t-0.7,5)]+dict[round(t-0.75,5)])/5))*2
dict[t]=g(t)*A(fl,fv)+0.001*g(t)
datadict[t]=dict[t]
gdata[t]=g(t)
del dict[round(t-0.8,5)]
#以上递推模拟
last=count
if (dict[round(t-0.05,5)]+dict[round(t-0.1,5)]+dict[round(t-0.15,5)]+dict[round(t-0.2,5)]+dict[round(t-0.25,5)])/5>=0.1:
count=0
else:
count=1
if last-count<=-1:
realcount=realcount+1
timelist.append(t)
#以上突变计录
t=round(t+step,5)
#1.75，50h，0 1.6 43 1.5 187(100h410 个) 1.4 约 475 1.3 约 1250 1.2 约 2550 1.1 约 5075 1 约 9200
#以下突变绘制
import matplotlib.pyplot as plt
#绘图循环
n=1
databar={}
kkk=-5
tmd=0.5
while kkk<=5:
databar[kkk]=0
kkk=round(kkk+0.05,5)#平均值初始化
while n<=realcount:
ctime=timelist[(n-1)]
x_values = list(np.arange(ctime-5, ctime+5,0.05))
y_values = [datadict[round(x,5)] for x in x_values]
# g_values= [gdata[round(x,5)] for x in x_values]
x_values=list(np.arange(-5,5,0.05))
if datadict[round(ctime,5)]>=0.06:
tmd=0.7
else:
tmd=0.01
plt.plot(x_values, y_values,alpha=tmd)
# plt.plot(x_values,g_values,"c-")
n=round(n+1,2)
T=-5
while T<=5: #求均值循环
for m in timelist:
databar[T]=databar[T]+(datadict[round(m+T,5)])/realcount
T=round(T+0.05,5)
data_values = [databar[round(x,5)] for x in x_values]
plt.plot(x_values, data_values,"c-")
plt.axis([-5, 5, 0, 2])
plt.show()这里的可视化部分我按需修改了很多，放上来的这一版最终的效果是筛选所有突变，绘制均值并着重标出偏离过大的数据。想要自己跑着玩的话还请自行修改
万事俱备，终于可以开始模拟了。在模拟运行的第 512s，第一个突变出现了!(ohhhhhhhhhhhh)
随手写的式子，竟然真的产生了符合预期的输出。让程序继续运行下去，在
的参数下，模拟的 100h 内产生了 410 个突变，这是记录的一些有趣的数据:
当然这样零散的数据意义不大，接下来我们将这 410 个突变绘制在一起并取平均值:
可见在本模型下，“突然安静”现象的典型特征是音量先经历一段时长在 0.4s 左右突增，随后以相反的速度在相同的时间内减小到 0.75 左右，再随后剧烈的衰减至零，保持一至两秒静默后回升。这在现实中均有对应解释，对应着“凑巧出现的波谷前对应的波峰”→“凑巧出现的波谷”→“众人察觉到什么，纷纷闭嘴”→“大家一脸懵逼”→“危机解除，继续聊天”的过程。
值得注意的是图中几条快速回升的数据，它们在下降段同样不如其它数据剧烈，可以将其解释为当下降过程延长时，最后一个人察觉前已经有人意识到“老师没有来，这是场误会”，于是没有出现彻底的静默。
在我出生至现在的七坤年中，我一共经历了三次“突然安静”现象，其中包括一次“不彻底的突变”。虽然能够使得这一场景出现的条件(原则上不能说话的时间，老师不在，大家聊的热火朝天)很少能一起满足，我仍然认为 100h 内出现 410 次突变过高了。我又在不同的参数 n 下进行了时长 50h 的模拟，结果如下:
n=1，184 次 /h
n=1.1，101.5 次 /h
n=1.2，51 次 /h
n=1.3，25 次 /h
n=1.4，9.5 次 /h
n=1.5，4.1 次 /h
n=1.6，0.86 次 /h
n=1.75，0 次
可见每小时安静数大致满足公式
还有不少想说的，以后慢慢写罢
下期预告:
使用 C++ 重制的考虑声音衰减的版本已完成（真正同时在运行 100 个 f），目前正在进行可视化工作，择日发布。
有网友在评论区引用了冯诺依曼的“四参画大象”典故指出了我的模型过于复杂，我在此对我建模的思路进行一下解释
音量由一项音量大小决定和一项音量变化决定:大小那一项一开始是正比，然后为了稳定性取一个凸函数；变化那一项涉及到阈值就自然的用 sign 函数(符号函数)，为了这个体系光滑一些就用 tanh 代替符号函数。此外考虑到人感知的是一小段时间声音的均值，所以用了到很多积分号取均值，这让这个式子看起来很冗长。事实上并没有那么不堪，每一项的物理意义还是很清晰的。～(￣▽￣～)~
此外我目前缺少实验数据（网上完全找不到），有记录“突然安静”现象的音视频的网友们可以把文件发送到 [email protected]，臣生当陨首死当结草!（（（（（（（（（（