sinx 求导为什么是 cosx？

知乎精选 2024-04-08 02:00:03

予一人，杂学旁收的废物

这里给出一个关于这结论的直观解释。

如图所示，在单位圆中，

$\sin x=CA,\sin(x+\Delta x)=DB,$

于是

$\sin(x+\Delta x)-\sin x=DB-CA=EB.$

同时，

$\Delta x$

就是弧长

$(AB).$

此外

$\begin{align*} \angle ABE&=90^{\circ}-\angle BAE=90^{\circ}-(\angle OAB-\angle OAE)\\ &=90^{\circ}-\left[\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\Delta x\right)-x\right]\\ &=\frac{1}{2}\Delta x+x. \end{align*}\\$

当

$\Delta x$

很小的时候，

$(AB)\approx |AB|，$

$\angle ABE \approx x，$

于是就有

$\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}=\frac{EB}{(AB)}\approx \frac{EB}{AB}=\cos\angle ABE\approx\cos x.\\$

若命

$\Delta x \to 0，$

上式中的近似可以认为相等，即

$(\sin x)'=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}=\cos x.\\$

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