x^4+y^4+z^4=w^4 有正整数解吗？ - 趣闻

x^4+y^4+z^4=w^4 有正整数解吗？

x^4+y^4+z^4=w^4 有正整数解吗？

知乎精选 2023-09-12 02:00:04

东城居士，读万卷书，行万里路。

$~~~~1439965710648954492268506771833175267850201426615300442218292336336633^4+ 4417264698994538496943597489754952845854672497179047898864124209346920^4+ 9033964577482532388059482429398457291004947925005743028147465732645880^4=9161781830035436847832452398267266038227002962257243662070370888722169^4$

1769 年，数学大师欧拉提出了下述猜想：

欧拉猜想：当

$n\geq4$

时，方程

$~~~~~~~~~x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\cdot\cdot\cdot+x_{n-1}^{n}=x_{n}^{n}$

没有正整数解.

显然，当

$n=3$

时，欧拉猜想就变成了著名的 费马大定理，这一情形已被欧拉自己解决了. 欧拉猜想在很长一段时间内都毫无进展，直到 1966 年，Lander 等人借助计算机发现

$~~~~~27^5+84^5+110^5+133^5=144^5.$

也就是说对于

$n=5$

，欧拉猜想是错的！

堪称数学史上最短的数学论文

1986 年，年轻的天才数学家 Elkies 巧妙地运用 椭圆曲线 的理论发现

$~~~~2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4.$

也就是说对于

$n=4$

，欧拉猜想也不成立！

Elkies 还证明了方程

$x^4+y^4+z^4=w^4$

有无穷多组互素的解，而上面那组看起来很大的解只不过是其中一个比较小的解而已.

2 年后的 1988 年，数学家 Frye 又发现

$~~~~95800^4+217519^4+414560^4=422481^4.$

这是方程

$x^4+y^4+z^4=w^4$

最小的一组解.

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