时钟指针针尖能构成正三角形吗？ - 趣闻

时钟指针针尖能构成正三角形吗？

时钟指针针尖能构成正三角形吗？

知乎精选 2022-11-29 01:00:01

酱紫君

确实存在这样的正三角形

可是三根表针不是不能互为 120° 吗?

这也没错

只是构成正三角形不需要互为 120°

因为顶点构成的三角形可以压根不包含圆心.

剧透下答案

设 O 为表盘中心, 也就是原点.

设时针

$OA$

的长度为

$k$

, 分针

$OB$

的长度是

$mk$

, 秒针

$OC$

的长度是

$nk$

.

$A=(\cos\pi t,\sin\pi t), 0<t<2$

分针转速是时针的 12 倍

$B=(mk\cos12\pi t,mk\sin12\pi t)$

秒针转速是分针的 60 倍

$C=(nk\cos720\pi t,mk\sin720\pi t)$

我们需要他成等边三角形

$AB=AC=BC$

根据距离公式有

$\begin{aligned} &(\sin (\pi t)-m \sin (12 \pi t))^2+(\cos (\pi t)-m \cos (12 \pi t))^2\\ =&(\sin (\pi t)-n \sin (720 \pi t))^2+(\cos (\pi t)-n \cos (720 \pi t))^2\\ =&(m \sin (12 \pi t)-n \sin (720 \pi t))^2+(m \cos (12 \pi t)-n \cos (720 \pi t))^2 \end{aligned}$

全部展开, 把第一项减掉化简一下

$\begin{aligned} 0=&n^2-m^2+2 m \cos (11 \pi t)-2 n \cos (719 \pi t)\\ =&n^2-2 m n \cos (708 \pi t)+2 m \cos (11 \pi t)-1 \end{aligned}$

这玩意儿你敢信有整数解?

不过至少是个代数数.

因为你可以两边用 720 倍角公式展开成一个多项式, 然后实根就是你要的.

接下来不妨令

$m=1$

分析这个方程

$n^2-2 n \cos (719 \pi t)+2 \cos (11 \pi t)-1=n^2-2 n \cos (708 \pi t)+2 \cos (11 \pi t)-1$

化简以后惊奇的发现

$\cos (708 \pi t)= \cos (719 \pi t)$

也就是说和

$n$

压根没关系

( 你别告诉我这玩意儿除了

$t=0$

无解, 打爆你头哦

令

$f(x)= \cos (719 \pi x)- \cos (708 \pi x),0<x<2$

画出图像

这玩意儿根多了去了好吗, 然后你有空可以开始一个个检验这些根是不是满足等式

说实话我都不知道这些根怎么表达, 毕竟这是个七百多次方程的根

所以我选择数值求解, 最少可以搞出来这两个数值解

k	m	n	t
1	1	1.2676871616804142	0.1723896285914506
1	1.900341028126867	1	1.8393113342898135

第一个解

$t=0.1723896285914506$

, 换算成秒就是

$3723.616$

, 换算成时间正好是 01 点 02 分 03 秒.

对应的图形是

01 点 02 分 03 秒

我发现这个图有个问题哦, 时间是对的, 但是这个钟不但倒下了而且还是逆时针转的.

离了个大谱

方程应该设

$A=(\cos\frac{\pi}{2}-\pi t,\sin\frac{\pi}{2}-\pi t), 0<t<2$

正常的钟应该这样显示

第二个解

$t=0.1723896285914506$

, 换算成秒就是

$18129.1$

, 换算成时间正好是 05 点 02 分 09 秒.

对应的图形是:

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