甲乙两人下围棋，甲胜的概率为 a，乙胜的概率为 b，a+b=1，比对方多赢两局者获胜，求甲赢的概率?

知乎精选 2023-09-11 02:00:02

王赟 Maigo，봄이 참 좋아 니가 참 좋아

@深巷明朝卖杏花的答案最有潜力用最简单的方法得到「多赢

$n$

局为胜」的通解，只不过解的过程写麻烦了。我来写一下简单解法。

设

$f_k$

表示甲已经领先

$k$

局的情况下，甲最终获胜的概率。

$k$

的范围从

$-n$

到

$n$

，

$f_{-n} = 0, f_n = 1$

。问题要求的就是

$f_0$

。

写出递推式：

$f_k = af_{k+1} + bf_{k-1} \\$

注意到

$1 = a + b$

，所以：

$(a+b) f_k = af_{k+1} + bf_{k-1} \\$

即

$a(f_{k+1} - f_k) = b(f_k - f_{k-1}) \\$

这就是说，

$f_k$

的差分成等比数列，公比为

$b/a$

。

$f_k$

的差分一共有

$2n$

项，它们的总和为

$f_n - f_{-n} = 1$

。而我们要求的

$f_0$

是差分的前

$n$

项和。由公比知，差分的后

$n$

项和是前

$n$

项和的

$(b/a)^n$

倍，所以答案为

$f_0 = \frac{1}{1 + (b/a)^n} = \frac{a^n}{a^n+b^n} \\$

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