不用三角函数和积分可以写出 π 的表达式吗？

知乎精选 2024-07-18 02:00:06

BenShui，PhD in Finance

1.Francois Viete

$\pi=2\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\cdots\\$

2.John Wallis

$\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^\infty\left( \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} \right)\\$

3.Srinivasa Ramanujan

$\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{1+\cdots}}}}=\sqrt{\frac{\pi e}{2}}-\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)!!}\\$

$\frac{1}{\pi}=\frac{1}{8}\sum_{k=0}^\infty(20k+3)\frac{(-1)^k(4k)!}{(4\sqrt{2})^{4k}(k!)^4}\\$

4.Stirling

$\lim_{n\to\infty}\frac{e^nn!}{n^n\sqrt{n}}=\sqrt{2\pi}\\$

5.Euler

$\pi=\frac{2}{\prod\limits_{n=2}^{\infty}\left( 1+\frac{(-1)(p_n-1)}{2p_n} \right)}\\$

其中

$p_n$

是第

$n$

个素数.

Euler 解决的 Basel 问题

$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\\$

6.Leibniz

$\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{1}{2k-1}\\$