通俗地说，四次以上多项式方程没有根式解，本质上可以归结为一句话：如果对全体有理数进行有限多步的加、减、乘、除、开

次方（，且），我们不可能得到全体代数数。只不过，当次数小于 5 时，多项式方程的解刚好避开了这个问题。

值得注意的是，超越数与超越运算是两个概念。通过超越运算，我们可以得到一些代数数。一个经典的例子：三角函数就是一种典型的超越运算，然而

却是代数数。

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事实上：

如果引入级数

，

我们就可以求解形如的一元五次方程。

如果引入高等数学里面的级数与 Gamma 函数，我们甚至可以给出形如

的任意次数多项式方程的通用解法。

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「四次以上的多项式方程没有根式解」这一命题，从方程的角度让我们再一次看到了初等数学与高等数学之间的一个十字路口——源自初等数学的多项式方程，完全可以利用高等数学的方法加以求解。而高等数学里面的二阶常系数线性微分方程 ，我们也可以转化为初等数学里面的一元二次方程（即利用特征方程）加以求解：

从定义上，方程作为含有未知量的等式，其实是一个通用的数学概念，本不存在「初等」与「高等」的界限。