为什么要引入矩阵这个数学工具？它能简化哪些不用矩阵会复杂的问题？

H-Chen，这个人太懒了

刚看到这个问题时，我在想：投影、最小二乘法、回归、SVD、PCA、图像处理、优化、机器学习、密码学……这些全都要用矩阵啊。

但是我转念一想，好像矩阵确实不是必需的：

假设 A 是一个

$m \times n$

的矩阵，那么

$Ax = b$

可以写作

$\begin{equation} \begin{cases} \sum_{i=1}^nA_{1, i}x_{i}\:=\:b_1\\ \sum_{i=1}^nA_{2, i}x_{i}\:=\:b_2\\ ...\\ \sum_{i=1}^nA_{m, i}x_{i}\:=\:b_m\\ \end{cases} \end{equation}$

假设 B 是

$n \times l$

的矩阵，那么矩阵乘法

$AB = C$

可以写作

$\forall i\in [0, m](j\in[0,l]( \sum_{k = 0}^{n}A_{i, k}B_{k,j}=C_{i,j}))$

当然，行列式

$det(A)$

也是可以表示出来的

$\sum_{\sigma \in S_n}\text{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),i}$

其中

$S_n$

是 n 阶对称群。

当然，有了行列式，就可以定义"伴随矩阵"

$\begin{equation} f(i, x)= \begin{cases} x& \text{x<i}\\ x+1& \text{x$\geq$i} \end{cases} \end{equation}\\ Adj(A)_{i,j} = (-1)^{i+j}\sum_{\sigma \in S_{n-1}}\text{sgn}(\sigma)\prod_{k=1}^{n-1} a_{f(i,\sigma(k)),f(j,k)}$

那么，"逆矩阵"的公式就有了：

$\begin{equation} f(i, x)= \begin{cases} x& \text{x<i}\\ x+1& \text{x$\geq$i} \end{cases} \end{equation}\\ (A^{-1})_{i,j} = \frac{(-1)^{i+j}\sum_{\sigma \in S_{n-1}}\text{sgn}(\sigma)\prod_{k=1}^{n-1} A_{f(j,\sigma(k)),f(i,k)}}{\sum_{\sigma \in S_n}\text{sgn}(\sigma)\prod_{k=1}^{n} A_{\sigma(k),k}}$

所以，我们线性代数课上学过的

$Ax=b\implies A^{-1}b=x$

，就可以表示成

$\begin{equation} \begin{cases} \sum_{i=1}^nA_{1, i}x_{i}\:=\:b_1\\ \sum_{i=1}^nA_{2, i}x_{i}\:=\:b_2\\ ...\\ \sum_{i=1}^nA_{n, i}x_{i}\:=\:b_n\\ \end{cases} \implies \begin{cases} \sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{1+i}\sum_{\sigma \in S_{n-1}}\text{sgn}(\sigma)\prod_{k=1}^{n-1} A_{f(i,\sigma(k)),f(1,k)}}{\sum_{\sigma \in S_n}\text{sgn}(\sigma)\prod_{k=1}^{n} A_{\sigma(k),k}}b_{i}\:=\:x_1\\ \sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{2+i}\sum_{\sigma \in S_{n-1}}\text{sgn}(\sigma)\prod_{k=1}^{n-1} A_{f(i,\sigma(k)),f(2,k)}}{\sum_{\sigma \in S_n}\text{sgn}(\sigma)\prod_{k=1}^{n} A_{\sigma(k),k}}b_{i}\:=\:x_2\\ ...\\ \sum_{i=1}^n\frac{(-1)^{n+i}\sum_{\sigma \in S_{n-1}}\text{sgn}(\sigma)\prod_{k=1}^{n-1} A_{f(i,\sigma(k)),f(n,k)}}{\sum_{\sigma \in S_n}\text{sgn}(\sigma)\prod_{k=1}^{n} A_{\sigma(k),k}}b_{i}\:=\:x_n\\ \end{cases} \end{equation}$

这样下去，其实任何需要矩阵的地方，都可以不使用矩阵列出公式。

有些常用的计算，比如“最小二乘法”的公式，是这样的：

$x = (A^{T}A)^{-1}A^{T}b$

其中 A 是

$m\times n$

的矩阵，很多高赞都提到了这个公式，它可以用来做线性回归，在统计学和数据科学中都有很多应用。

但是，经过我们刚才的一番推导，我们发现，这个式子其实也可以不用矩阵写。我们现在可以尝试把它翻译一下，写成不需要矩阵的形式。翻译过后，它差不多大概长这样：

$\begin{equation} \begin{cases} x_1\:=\:\sum_{i=1}^m\left[\sum_{k=1}^n(\frac{(-1)^{1+k}\sum_{\sigma \in S_{n-1}}\text{sgn}(\sigma)\prod_{l=1}^{n-1} \sum_{p=0}^mA_{p,f(k,\sigma(l))}A_{p,f(1,l)}}{\sum_{\sigma \in S_n}\text{sgn}(\sigma)\prod_{l=1}^{n} \sum_{p=0}^mA_{p,\sigma(l)}A_{p,l}})A_{i,k}\right]b_{i}\\ x_2\:=\:\sum_{i=1}^m\left[\sum_{k=1}^n(\frac{(-1)^{2+k}\sum_{\sigma \in S_{n-1}}\text{sgn}(\sigma)\prod_{l=1}^{n-1} \sum_{p=0}^mA_{p,f(k,\sigma(l))}A_{p,f(2,l)}}{\sum_{\sigma \in S_n}\text{sgn}(\sigma)\prod_{l=1}^{n} \sum_{p=0}^mA_{p,\sigma(l)}A_{p,l}})A_{i,k}\right]b_{i}\\ ...\\ x_n\:=\:\sum_{i=1}^m\left[\sum_{k=1}^n(\frac{(-1)^{n+k}\sum_{\sigma \in S_{n-1}}\text{sgn}(\sigma)\prod_{l=1}^{n-1} \sum_{p=0}^mA_{p,f(k,\sigma(l))}A_{p,f(n,l)}}{\sum_{\sigma \in S_n}\text{sgn}(\sigma)\prod_{l=1}^{n} \sum_{p=0}^mA_{p,\sigma(l)}A_{p,l}})A_{i,k}\right]b_{i}\\ \end{cases} \end{equation}$