在 16、17 世纪左右，很多科学家在研究运动的问题。于是，从物理问题中引出了函数概念，比如伽利略所著的《关于两门新科学的对话》中几乎从头到尾包含了“变量之间的关系”这个思想。

函数的符号表示，自然是由那位热爱研究符号的大数学家发明的。对，就是那个创造了一整套微积分符号的莱布尼茨。另外，“函数”（function）这个名词也是莱布尼茨在 1673 年的一篇手稿中使用的，而牛顿使用的则是“流量”（fluent）。“流量”这个词没有流行开来，因为大家还是喜欢用 WiFi。【别瞎扯啊摔！】

微积分是紧接着函数概念的采用而产生的，其创立首先是为了处理 17 世纪主要的科学问题，有这么四类：

1.已知物体的位移 - 时间函数，求其在任意时刻的速度与加速度；反过来，已知物体的加速度 - 时间函数，求速度与位移。

研究物体运动时，这类问题不可避免，而且困难在于：每一个运动的物体在其运动的每一时刻必然有速度和加速度，但是它们大多是时刻发生变化的。计算平均速度时，我们可以用位移除以时间，但对于给定的瞬时，位移和时间都是 0，这算个毛球球啊！而已知速度公式求位移的话，也会遇到一样的问题。

2.求曲线的切线。

这个问题在很多方面都很重要的应用。举个例子，光学在 17 世纪吸引了很多科学家。费马、笛卡尔、牛顿等人对于透镜的设计都有所研究。为了应用反射定律以及各种定律，必须知道光线同曲线的法线之间的夹角。法线垂直于切线，所以需要想个办法求出切线。再举个例子，如何知道运动的物体在其轨迹上任一点处的运动方向呢？答案是，求切线啊求切线！

其实“切线”本身的意义也是一个没有解决的问题。对于简单的曲线比如圆锥曲线，把切线定义为“与曲线接触于一点且位于曲线的一边的直线”就可以了。但是对于 17 世纪的数学上研究的较为复杂的曲线，这个定义就不适用了。

3.求函数的最大值与最小值。

高考题的即视感？当时这可是为了计算炮弹弹道和行星运动轨迹的！比如求炮弹从各个角度发射后所达到的最大高度，或者求行星距离太阳最远和最近的距离，可高大上了。

4.求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体（比如行星）作用于另一物体上的引力。

古希腊人用穷竭法计算出了一些面积和体积，但是需要很多小技巧，缺乏一般性。随着数学的发展，穷竭法逐渐被修改，而微积分创立之后则被彻底改变。

其实在牛顿和莱布尼茨分别独立发明微积分之前，有不少先驱者已经创造出不少方法。比如 Roberval、Torricelli、Fermat、Barrow、Cavalieri、Pascal 等等。嗯，牛顿与莱布尼茨则位于全部贡献的顶峰，而牛顿更是站在了巨人的肩膀上！【抱歉啦胡克！】

到此，微积分正式诞生了，题主的问题也回答完了。【鞠躬~】

参考资料：莫里斯·克莱因．《古今数学思想》．上海科学技术出版社