引言

显然，题主想要一颗能够养鱼的几乎由纯水构成的行星。

不过给的约束条件有些少。例如是否允许加少量其他物质（从而形成凝结核、增加水体宜居性、改变反射率及蒸发量和云的状态并由此影响热平衡温度等，或者加点放射性物质而允许这些鱼不靠太阳而靠以热或电离辐射来生产的古菌为生产者）、养的什么鱼（非碳基的可以吗）、是否考虑其凝聚过程释放的引力势能、是否考虑其他天体的影响（诸如潮汐、流体洛希极限之类），因此我们只能把所有状况都分类讨论一遍了。

1.鱼类状态的确定

在讨论行星之前，我们需要先决定鱼所需要的环境，以便决定行星参数限制。

1.1 鱼的种类及其生存环境

我不认为题主是想养些液氨介质碳基鱼、机械飞升鱼、简并物质鱼、耗散的等离子体球生命、KN 黑洞生命或者其他任何长得像鱼的东西，因此下面的讨论就以狭义上地球的水介质核酸碳基动物界脊索动物门鱼纲生物来讨论了。

显然，地球上大部分鱼类都是咸水鱼。这要求这行星最好加点盐类。然而，随着温度等状况的变化，这些盐可能会析出，从而在行星核心沉积出一个较小的岩质核心，并且为结冰提供方便。

不过这问题不大，我们只需继续讨论地球鱼类需要的生存环境。

①温度（这涉及到之后对 Jeans 逃逸的计算）：

暖水性鱼类一般在水温 30°C-50°C 时食欲最旺盛，生长繁殖的速度也最快；当水温降至 20°C 以下时，便会食欲减退、行动迟缓；水温降至 15°C 以下就会死亡。

温水性鱼类最适宜在水温 15°C-30°C 之间生活；水温 30°C 以上时便避入凉爽的水域（一般都是深水区）；水温 40°C 以上会致使温水性鱼类的大面积死亡；在水温 10°C 以下时，这种鱼会食欲减退、停止生长；当水温降至 4°C 以下时，它们中的多数就会停食冬眠。

冷水性鱼类在 20°c 以上就会游往冷水区；4°C-15°C 的水温是最适宜它们的温度。

②水压：

深海鱼通常是指生活在 600-2700 米水深的鱼类。也就是说，要保证起码到这个深度的水体是宜居的，同时大气压最好不要达到 270atm 以上。

表面重力小些不影响鱼类生存。毕竟本来就是悬浮，也不会像人长期失重一样有啥上身浮肿骨质流失肌肉萎缩之类的。

1.2 生态圈状况

显然，要让这些鱼长期活下去，这行星就必须得有生产者和生物圈，不然你得每天给一整颗行星的鱼投食——题主只规定养鱼，没说不能放作为生产者的其他生物。

基于生产者的不同，生物圈可以有很大变化，从而影响到允许的行星状况。我们可以使用的生产者有：

①最常规的植物及藻类，以阳光为能源。

②相对来说也比较常见的，地热合成生物。以海底火山口之类热源为能源。

③电合成生物：铁细菌 Acidithiobacillus ferrooxidans^[1]可以在只有电作为能源的环境下利用岩石和水中溶解的二氧化碳合成有机物并增殖。

④辐射合成生物：细菌 Candidatus Desulforudis audaxviator^[2]可以在只有铀矿的辐射作为能源的环境下利用岩石和水中溶解的物质合成有机物并增殖，在南非数个矿井下的地下水中建立生态系。

如果打算往行星核心沉点放射性物质，那么可以使用④，但是这显然不“水”（把氚或者氧 -18 之类换了稳定同位素倒是仍可以算作纯水，可惜半衰期太短）；

如果打算让行星核心那些可导电的超临界水转起来，并在表层海中加入电解质，或许可以考虑③；

如果这行星是刚从独立的水团聚合而来，引力结合能的余热尚且可以支撑②；

不过最可行且能提供大规模养料的显然还是①。

2.行星状态的确定

众所周知，液体在 p=0 时必蒸发，且饱和蒸气压与外界气压相等时呈沸腾状态。即使大力出奇迹，堆出冰巨星一样的质量（从而水即使变成蒸气也因为重力而不会逃逸），也会因为其气态的结构而不符合题主要求——它不会有“海”，只会从气态过渡到超临界，底下自然无法养鱼。

因此，这团水必须加个非

的大气。再加上鱼纲动物似乎没有不需要氧气（或可以一直通过无氧呼吸来生存）的种，我们不妨将其设定为纯水构成、有一层纯氧大气的行星。（至于加入其它比氧更重的气体来压仓，由于首先必须防止氧跑了，所以对下限没有影响）

如此一来，我们需要考虑的约束有：

①Jeans 逃逸、电荷交换逃逸等导致的大气逸散：

这为行星的体量划定了下限。若行星过小，氧气中在 Maxwell 分布里处于上游的粒子就会很快逃逸（同时还得考虑紫外线将其光解成原子氧导致的逃逸），气压下降进而导致水的蒸发；水分子量比氧还小一截，氧都留不住，那它就只能等着整颗溃散了。

②水体的物态、云的状况导致的反射率变化，以及行星公转轨道、自转周期：

这会改变行星表面的热流平衡，对温度场造成影响。

例如若自转是潮汐锁定的，那么正面会形成强台风，乃至开始蒸发（但是因为我们可以自由调节氧的气压，这在不太热的情况下问题不大），而背面若有冷凝核就会开始形成冰盖（若是纯水则会形成大量过冷水），且有强烈的洋流威胁鱼类生存；

若接收的辐射强度过低，则会形成木卫二那样的冰壳行星（不过由于水带入 Clapeyron 方程后比较奇葩，压强升高反而成液相，会形成冰下海洋，你可以在那里养木卫二胖鱼）。

聚变是肯定不会的，纯氢 pp-chain 需要达到金斯质量（5%M⊙）才能点燃。

表面张力在这个尺度上可认为是没有影响。重力是主导因素。

至于半径是太阳 1/5，我敢肯定是题主算错了。

显然，我们需要一个稳定、大气在常温下不会逃逸、自身不会蒸发的行星。

2.1 Jeans 逃逸及第二宇宙速度的要求

看题主似乎不只是想知道这行星需要多大，还想知道计算方法，那就展开一下罢。

众所周知，有温度的物体就有热运动。如果一颗行星的逃逸速度过低、大气温度过高，它的大气热运动速度就会超过逃逸速度，从而导致大气逃逸。

然而，某个温度下，分子的运动速度并不是全都一样的，而是遵循 Maxwell 速率分布：

有些气体分子动得快，有些慢。只有平均速度是和温度正相关的。其中有些粒子比平均速度快得多，因此逃逸速度不能光是大于平均速度就行。

根据 Jeans 定则，一般认为，如果第二宇宙速度

大于方均根速率

的五倍以上，就认为这颗行星的气体在地质纪年的时间尺度上（因此如果你不要求养太久，也可以放宽限制，只是氧气几百万年就会跑光罢了）也很难 Jeans 逃逸（但是还有电荷交换逃逸等其他的逃逸方式，比如太阳风粒子怼上来，把大气粒子轰出去）。

其中，R 是理想气体常数，T 是热力学温度，μ是相对分子质量。

我们无脑带入：原子氧μ=16，表面温度是室温 300K，于是行星第二宇宙速度至少为 3419.3m/s.

-------- 此处我犯了个极其愚蠢的错误，把温度按地表算了...非常感谢 @苏 47 战斗姬 的指出。

若大气状况与地球相近，按散逸层典型温度 1480K，第二宇宙速度至少为 7594.6m/s.

2.2 不可压缩条件下的行星大小下限

实际上，这行星当然不是不可压缩的。到了深处，温度和压强高了很快会变成超临界，质量够大甚至会产生简并，平均密度会大于水（那些密度比水小的冰相只在很浅的表层出现，与核心高密区的贡献相比，可以忽略）。

不过，作代换：

可以发现，平均密度上升将会导致实际上对质量的要求变低，所以这一节算出来的下限比实际下限要更高，我们实际上只需要更少的水。

因此，按这一节算出的结果的水球下限已经足以满足要求、能够形成稳定大气，可以用于暂时近似一下。之后再讨论考虑压缩的情况。

总之我们令

，根据

，易知

，已经超过了地球质量的三分之二（0.735M⊕）。

对应的行星半径（不考虑自转拉伸）需满足：

，即1.594 地球半径；

行星表面重力

，即0.29 倍地球重力。

（若只要求在几百甚至几十年里能有数代鱼类活到正常老死，那么即使表面张力起主导作用的一个小水球也可以在完全蒸发前完成养鱼任务。而大球也不能恒久远，再过 10 亿年太阳的光度就会增长到现有宜居带处无法存在 1atm 下的液态水的程度，而且大质量下逃逸只是很慢而不是没有，大气终有一天会消散殆尽。

因此，这里给出的下限是以在太阳变得很热前（~10 亿年尺度）的地质纪年上可以一直保证鱼类存活、且生态有接近地球的稳定性为标准。）

3.热平衡及运动状况3.1 热辐射收支

首先，有 Stefan-Boltzmann 定律：

其中黑体辐射常数

，黑度系数

取值在 0 和 1 之间，代表物体有多黑，1 代表完全吸收光的绝对黑体，0 代表完全反射光的白体。

要使某点温度达到辐射平衡，则吸收的光的功率=热辐射功率，即：

，

其中

是日光入射角，

是热辐射通量，

姑且用来表示物体表面对入射光的吸收率（因为恒星的光并不均匀分布与全光谱，所以

。正如白油漆的全光谱吸收率有 0.8，但是对可见光只有 0.2）。

水的

，对太阳这样 G2 黄矮星的反射率

在 0.1 左右；冰的

，反射率在 0.3 至 0.4；雪的

与冰相同，反射率 0.8-0.9。脏雪的反射率会下降，不过这颗行星大概不会有什么尘埃，总不至于浮游生物满天飞。

不过，直接在有大气行星表面算辐射平衡，得到的结果并不精确。例如，在 1AU 外，赤道直射处，水的平衡温度理应为：

但现实中直射点的海并没有沸腾。一方面是大气吸收了部分日光，使到达地面的太阳常数仅有 1kW/m^2；一方面是大气对流和洋流在传输热量；一方面是地球在自转，升到平衡温度前就离开直射点乃至进入夜晚了。

不过，这还是可以用于参考大致的温度。

显然，随着入射角的减少，极地是必然要低于凝固点的，即使弄个自转倾角加了四季，光照角度的变化周期也跟不上温度变化的速度。除非洋流足够强，否则两极将产生冰盖或过冷水。

历史上曾发生过多次雪球地球事件，就是因为雪和冰盖的反射率增加，日光吸收变少，于是变冷，从而结更多冰，如此正反馈而成。因此，其他条件相同的情况下，如果这行星冰更多，它得比地球更近才能获得足够温度。

然而不要忘了温室效应。水蒸气也是强有力的温室气体，其在地球温室效应的占比中比

更高。

于是修正一下，宜居带并不怎么会偏移。

其实我们可以调节大气压来改变水蒸气含量进而改变温室效应，从而控制平均温度，所以与日距离只要不过于极端就都没问题。

3.2 自转

为了保证正常的昼夜温差和不同纬度合适的温度区间，自转周期和转轴倾角都要合适。

转轴倾角我们大可以直接照搬地球，23.5°。核心也需要适宜的自转，防止一点磁场都没有，导致太阳风大肆剥离大气。

然后出自转速度的极限。

由于这坨水是流体，自转会发生形变，显然不能直接按刚体球赤道线速度到第一宇宙速度为标准来判断是否会解体。当自转加快时，它会形成一个麦克劳林椭球。其引力场随转速的函数好像没有没有解析解，所以尝试数值解...

卧槽这玩意解起来怎么这么麻烦，先跳过！

3.3 轨道

如果不考虑地球的存在，显然把它放在 1AU 附近比较合适。然而考虑到地球，就得防止它们进入各自的引力范围。

希尔球半径（忽略偏心率）是

，

其中 m 是小天体质量，M 是中心天体质量，r 是轨道半径。

地球的希尔球半径约 150 万 km。考虑到地球近和远点，这坨水的轨道半径应小于

，或大于

，且偏心率接近 0。

4.考虑复杂物态方程状况下的质量下限4.1 动量空间与电子简并压

虽然这种大小的行星要电子简并还远远不够格（2000MPa 论简并确实脱裤子放 p），不过以防万一，我们还是先看看电子气的压强在核心处的贡献究竟达到了多少，再决定要不要忽略它。

4.2 温度、压强和物态对水的影响

首先，我们有 OV 流体静力学平衡方程：

emmm，似乎用广相有点核弹打蚊子，那就经典一点罢。首先，假设星体为球对称，那么有密度函数

满足：

在星内某点的压强 p 满足

，

其中

，

即球对称星体在 Newton 引力作用下的流体静力平衡方程；

与 p 的关系则可以通过水的相图得到（暂时忽略简并和超高温高压下的物态）（谢 @望着木星的喵 ）：

但是我们还不能直接由此列出一大堆分段函数，因为还需要考虑温度函数 T(r)。

此时问题来了，一般天体可以通过核心放射性物质的产热和表面的辐射散热以及传热系数对 r 的函数 K(r)得到 T(r)，但我们这里却完全没规定核心有什么物质能产热，或好歹规定一下从什么程度开始收缩（无穷远还是刚成为未压缩的水球时）从而算出引力放能给它升温了多少（虽然还得考虑不同半径处得到的热量以及减去相变吸热）并结合散热速率得到 T(r，t)。

在确定到底该如何讨论密度函数前，我们不妨查查资料先。

首先，经过在 google scholar 一番累成狗的猜关键词，可以成功找到在亚海王星内部关于水的ρ(p)的图^[3]：

虽然因为物态过于复杂而没有解析，文中只放了几张图（估计是跑数值步长拉得比较小画出来的），但我们之后可以取点拟合，问题不大。

对着图 4-4 压强略大于 1bar 的部分瞪眼，可知温度高时平均密度会更小，这会导致在相同逃逸速度需求下，核心高温情况下的行星比低温情况所需的质量更大。但是行星终会冷却，若我们只考虑稳态，则可以按恒温计算，便不必考虑复杂的温度梯度了。当然，这会导致计算结果比热的情况（也就是水慢慢自压缩放出热能的实际情况）的需求更低。

然后，我们需要大致估算一下行星核心的压强，从而确定我们需要图上的哪些部分。

由于 2.2 的计算结果已经比实际值大，我们可以用它的数据（以及均匀密度条件）大致估算核心压强的数量级。

首先，有

，

其中

是距离球心 r 处的重力加速度，满足

，

密度恒定时，ρ是常数，因而可以直接对

积分，从而得到

代入 2.2 的数据，发现

，居然只有 14 万大气压，连冰 VII 都达不到，和一般的大天体比小得可怜（好在这样就不用考虑 XVIII 之类奇怪的相）。而上面三张图动辄 10^16Pa，它画的线都比我们所需要的区间里密度的变化量要粗，直接按图描点必然误差很大...

因此，得先找到 0.1~2000MPa 下比较精细的密度函数，才能进行下一步。

好在我们发现世界上还有个叫 IAPWS 的组织^[4]，砖门管水在各种状态下的物理性质，还提供了 python 模块^[5]。如果想要精细计算，用它多取些点然后拟合便是，不必重新造轮子。

不过我比较懒，用更粗略的数据鬼畜近似一下应该也问题不大。

这上面给出了详尽的各种相变时的水密度^[6]，很好地覆盖了我们需要的区间（下图红框内）。

（顺带一提，如果想讨论更大质量的水球，还有更高压下的参数^[7]（虽然点有些散）：

）

其实，直接找 M（r）的相关资料也很容易有^[8]：

而且还有别的材质的，比如硅酸盐和铁^[9]：

在这个回答中尝试从头算，主要是因为这些论文给出的图的区间太大了，比问题对应的行星质量大得多，导致不精确；而翻其参考文献并且重现其计算过程又过于麻烦，且因为涉及一些工具而能力不足...

总之继续按照ρ(p)来计算。不过相变时密度会有突变，我们就算再懒也不能直接把各个点用直线连起来。再次参考图 4-2，标出相变时两种相的密度，从而得到一串散点。

先放出不管三七二十一直接在 mma 用 M(r)拟合出的结果：

* 得到的水球数据是：

1.2538 地球半径，0.5781 地球质量。

顺便得到重力加速度为 3.61m/s²（0.3684 地球重力），平均密度 1.618g/cm³。看来压缩确实比较可观，不能不考虑。

4.3 太阳活动和大气成分对散逸层温度的影响及其他大气逃逸方式的贡献

上面的计算得到的定值仍是基于 Jeans 定则“五倍”的粗略表述，实际上我们需要计算才能知道多大的速度会导致大气多久逃光。由于条件比较自由，最终的结果也不应是一个确定的数字，而应该是个函数，输入我们想要的具体的维持生态圈的时间、轨道之类，输出此情况下的行星质量上下限。为此，我们必须考虑更复杂的逃逸效应。

首先，散逸层的温度就不是固定的（盗图）：

在昼夜和恒星活动影响下，有很明显的变化。

（先鸽着，咕咕咕）

5.总结

按金斯定则，如果考虑最简单的不可压缩情况，约需要0.735 倍地球质量的水球（详细数据见 2.2）；

如果考虑水在高压下的压缩，约需要0.5781 倍地球质量的水球（详细数据见 4.2）；

事实上“可以养鱼”这个条件并不很充分，如果再给定更精细的维持生物圈时间和轨道要求，则可以通过下式求出对应的水球得有多大：

综上，这是在不干预情况下长期养没有基因飞升的正常地球碳基鱼纲生物的答案。如果改成机械鱼、基因魔改鱼或只要求养一小段时间，限制可以宽松得多。

打字好累，先鸽了，有空再更

密度不均的可压缩情况也大概讨论完了，可以拿这答案凑合

zzz