在知乎更新了公式系统后，还没写过数学。
趁着自己最近在养病，随便写几个回答。

定义 1 设

是数集，如果存在双射

，则称

等势。

定义 2 设

是非空集合，

• 若其与 等势，则称 是有限集；
• 若其与 等势，则称 是可数无穷集，上面两种情形并称为可数集；
• 如果上述两条均不成立，则称 是不可数集。

关于可数与不可数的性质，可以参考任何一本实变函数的教程，在这里不再赘述。

命题 1

有不可数无穷多个元素。

证明 假设

中的实数是可数的，也即可以将实数排列为

考虑这样的一个实数

，且有十进制表示

其中

表示

的第

位小数，且满足与

的第

位小数不同，则

不在上述排列中，矛盾。从而，

有不可数无穷多个元素。

下面证明本问题的一般情况。

命题 2 不可数个正数的求和一定是

。

证明 设

是不可数个正数所构成的数集，考虑求和

。对正整数

，考虑集合

则

，且

互不相交。我们断言，一定存在某个

不是有限集，否则

是可数个互不相交的有限集的并，从而至多是可数的，此与

是不可数集矛盾。进一步，有

此即说明

。

另外，仅考虑 之间的实数求和的话，也有更容易的办法，假定读者不是三江方士。

命题 3

之间的实数的求和是

。

证明 考虑到调和级数是发散的，因此

因此

之间的实数的求和是

。