想起这道经典数学题
数列
按如下方式定义:
,
,
(),
这个数列叫做Fibonacci 数列,它的通项公式为:
()
根据以上信息回答下列问题:
将一个自然数列
()
按如下规则定义:其中每一个数都是由数字
或 组成,并且满足
(A) ; (B) 为自然数,
是将 中的
数字 替换成 ,数字 替换成 而得到.
例如:
,
,
,
,
,…
求解:
(1) ,它被定义为 中的数字个数;
(2) ,它被定义为 中的“01”的出现次数.
例如:
,
,
,
,
本题据说是某年东京大学入学考试试题,难度略高于一般的高中数学题,大致相当于高考数学压轴题或者自主招生数学试题的难度
解:
(1)
令数列 中的 0 的个数为 ,
1 的个数为
显然
显然有
()
注意到
,
显然
()
(2)
由题显然可得,
等于
中不处于最末一位的 的个数
且对于数列 ,
显然其奇数项末位为 ,
偶数项末位为
则
注意
()
,
则
()
()
综上
()