「斐波那契汤」味道是收敛的吗？

知乎精选 2024-08-16 02:00:06

“斐波那契汤”（今天的汤=昨天的汤+前天的汤）味道是收敛的吗？

量化调酒师，Attention is all you need!

考虑任意味道描述指标（比如咸度），设第

$n$

天的指标为

$a_n.$

假设每一天将昨天的汤和前天的汤按 1:1 混合成今天的汤，于是

$\begin{align*}a_n=\dfrac{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2}),\end{align*}$

从而

$a_n-a_{n-1}=-\dfrac{1}{2}(a_{n-1}-a_{n-2})=\cdots=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}(a_2-a_1),$

进而

$\begin{align*}a_n=a_1+(a_2-a_1)\sum_{k=0}^{n-2}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{k}=a_1+\dfrac{2}{3}\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right)(a_2-a_1).\end{align*}$

因此

$\begin{align*} \lim_{n\to \infty} a_n=\dfrac{2}{3}a_2+\dfrac{1}{3}a_1, \end{align*}$

即斐波那契汤味道收敛于 2/3 第二天的汤混合 1/3 第一天的汤。

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