有哪些具有特殊性质的数字？ - 趣闻

有哪些具有特殊性质的数字？

知乎精选 2023-04-13 02:00:06

Yifan，Math. CO / NT / GR / CA / LO

521

好吧，这个是我高中保送无聊时在人人网写的，可以用来表白的数学题目。大概是高考数学、自主招生难度，当时闲的无聊自己编的题目。

设 p 是素数,

$\sqrt p$

的小数部分为 x，

$\frac{1}{x}$

的小数部分为

$\frac{\sqrt p-15}{37}$

。求所有满足条件的 p 的值。

答案当然就是 521 了，高中的朋友可以用这个给喜欢的妹子表白啦！（虽然听起来很书呆子，但是至少表白被拒了不尴尬是吧）

不知道有没有人看，解题过程就懒得写了感兴趣的可以评论找我要，总之不难。

（FBI Warning：下面是证明过程，想自己先试试的别往下滑。。）

－－－－补充一下证明过程。

$\lfloor{x}\rfloor$

表示不超过 x 的最大整数。

$0\leq(\sqrt p-15)/37<1$

,得到

$225\leq p<2704$

。

根据已知条件有

（1）

$\sqrt p-\lfloor\sqrt p\rfloor=x$

（2）

$\frac{1}{x}-\lfloor\frac{1}{x}\rfloor=\frac{\sqrt p-15}{37}$

设

$k^2<p<(k+1)^2$

，将（1）代入（2），注意到

$\lfloor\sqrt p\rfloor=k$

, 有

$\frac{1}{\sqrt p-k}-\lfloor\frac{1}{\sqrt p-k}\rfloor=\frac{\sqrt p-15}{37}$

。稍微分母有理化一下，

（3）

$(37-p+k^2)\sqrt p+(37k+15p-15k^2)=37(p-k^2)\lfloor\frac{\sqrt p+k}{p-k^2}\rfloor$

（3）的右边是整数，所以左边也是整数。于是

$p=37+k^2$

。再代入回（3），有

$\frac{15+k}{37}=\lfloor(\sqrt p+k)/37\rfloor$

。还是老套路，左边得是整数，15+k 是 37 的倍数。

最开始的

$225\leq p<2704$

，得到

$k^2+37<2704$

，于是

$k<52$

。

回到那个 15+k 是 37 的倍数上。

如果

$15+k=37$

，得到

$k=22$

；

如果

$15+k\geq2\times37$

，有

$k\geq59$

，与

$k<52$

矛盾。

于是 k=22，代入到

$p=37+k^2$

，得到 p 为 521

－－－－－再补充

题目应该把 37 或者 15 稍微改大一些，让 k=59 也进入解中，再用素数的条件舍去这个解。。

现在的题目我们只用到 p 不是完全平方数，素数条件有一点略显多余。感谢 @白致远的提醒。

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