问题挺深的。我试着讲讲，不一定能讲明白。
的确，「あすか」这个词最常用的两种汉字表记就是「明日香」和「飛鳥」。
其中「明日香」很容易理解，因为大家都知道「あす」=「明日」、「か」=「香」；但「飛鳥」这两个字简直是八杆子打不着，凭啥也读作「あすか」呢？应该念「とぶとり」才对啊？
这事又得追溯到古时候了。
日本这个国家的文化是从近畿地方（也叫关西）发端的，也就是下图深绿色的这一块。
（图源：
）
这其中有一小块很重要的地方，太小我就不标出来了，叫做「あすか」，即「明日香」或「飛鳥」——也就是说这本来是个地名。
为什么说这个地方重要呢？日本历史上的「飛鳥時代」就是以飞鸟（明日香）地区命名的。从 592 年推古天皇即位到 710 年元明天皇迁都平城京这一百多年间，皇宫大多建立在飞鸟地区，例外的只有大阪难波宫（孝德天皇）和滋贺近江宫（天智天皇、弘文天皇）共计 15 年。换言之，当时日本的政治兼文化中心就是飞鸟地区。这个时期的日本，从隋唐大量学习了政治经济文化科技等方面的知识，发生了众多革命性事件，例如颁布了基本法『大宝律令』，最终完成了从奴隶社会到封建社会的蜕变。因此人们说日本国的起源就在飞鸟，这么讲并不过分。
如今的飞鸟地区叫做明日香村，是著名文化遗址，在奈良县中部，顺带一提奈良县就是上图深绿色中间形状很像麦乐鸡块的那个（笑）。
说回来，那么这里有两个问题。
第一，「あすか」（ASUKA）这个发音是怎么来的？
第二，「飛鳥」这个汉字表记又是怎么来的？
关于这两个问题，在明日香村的官网上有一番介绍（
）。
先看看「あすか」一名的起源：
（图片截自
）
可见，即使是在日本，这个问题目前也并没有公认靠谱的正确答案。有说是朝鲜语「安宿」的变音的；有说是朝鲜语「Suka」（村）前面加「ア」的；还有说是印度「アショカ王」转化的……五花八门说什么的都有，大概是研究不出来个准谱了。
那么「飛鳥」这个汉字表记呢？
其实目前也没有特别确切的答案。最被普遍接受的一个说法是「枕詞由来説」。
「枕詞」是「和歌」中的一个术语。所谓「和歌」你可以大概理解为日本的古诗词，「枕詞」通常为其中的第一句或第三句，多为五音节，用意境来引出下一句的主体（被枕詞）。枕词和被枕词之间往往有一些意义上的联系，并且存在固定搭配，形成一种日本味的含蓄感。例如「空蝉の」（うつせみの），后面跟的大多是「命」、「人」之类主题，这样的感觉。
我这里再举个例子，这是我刚随手写的一首：
アメリカの ウォーレスさんが てめらより レベル高いぞ わしとペラペラ
おまえたち いいとこもある どこまでも 外人よりも 素早いが 質問すべて やすすぎる 時には甘い わからないのか
有经验的人，一听到「アメリカの」，就知道后面要说「ウォーレスさん」了。枕词大概就是这种作用（大误）。
总之，「飛ぶ鳥の」（とぶとりの）这个枕词，就是用来枕「明日香」的。在『万葉集』（相当于日本的诗经）中有「飛鳥 明日香乃河之 上瀬尓 生玉藻者……」之类的记载。这个说法认为，飞鸟和明日香是这么发展成同义词的——就像「日ノ本の」（ひのもとの）是「大和」的枕词那样。
但是也有人对此提出质疑。有一位热衷于研究日本文化历史的浜田裕幸医生，曾经多次就此话题撰文。他认为「飛鳥」是源于「塔寺」的谐音，当权者为了好看而选用了「飛鳥」二字。
具体哪一种说法是对的，超出了我的个人判断能力。有兴趣的读者可以访问
http://homepage1.canvas.ne.jp/capitalasuka/index.html
阅读浜田先生的研究。这里不多介绍了。
谢谢阅读~
—————半夜更新分割线—————
EVA 里那位アスカ，我印象里是没有官方汉字表记，但翻译时明显应当写成明日香而不是飞鸟。这个角色的名字取自和田慎二的漫画『超少女明日香』，在原梗里就是表记为「明日香」，与「今日子」形成对仗。以此推论 EVA 中的「アスカ」和「キョウコ」也应该这么翻译才对。天鹰版译成飞鸟是很不严肃的。